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et le système orthogonal, par l'équation obtenue en multi- 

 pliant les deux dernières, savoir : 



du' du] 



En identifiant cette équation avec l'équation (3), on trouve, 

 C désignant une constante arbitraire, 



g(u) = % <?,(*,,) = --. 



Les surfaces correspondantes étant deux à deux homothé- 

 tiques par rapport à l'origine, il suffira de donner à C une 

 valeur particulière. Faisons C = ?', il viendra 



«%=-,' £(«.)-— v 



Ces valeurs des fonctions de Weierstrass caractérisent, on le 

 sait (*), la surface de vis à filet carré. 



Deuxième cas : La droite PP' est isotrope. Nous prendrons, 

 dans ce cas, pour plan des xy, le plan réel déterminé par la 

 droite PP' et par la droite imaginaire conjuguée. Les équations 

 de la droite PP' seront alors 



y -+- ix = 0, z = 



et les cercles de l'une des familles seront situés dans les plans 



y ■+■ ix -+- az = 0. 



L'application des formules (5) donne leur équation finie 



1 



u = a , 



M, 



puis leur équation différentielle 



J dU * A 



du -+- - — = 0. 

 (*) G. Darboux. Leçons stir la théorie des surfaces, i re partie, p. 300. 



