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4. Les lignes asymptotiques ont pour équation différen- 

 tielle : 



du* — dv- = 0. 



On en déduit les équations finies des deux familles : 



// -+- v = a, il — V = |3l. 



Si l'on substitue aux paramètres u etv les paramètres x et p 

 des asymptotiques, les expressions des coordonnées devien- 

 nent : 



x = % h - «fi 8 , 



12 4 ' ' 



7/ = W -f- l — ia8 2 , (8 :■ 



_ * 2 ?" 

 * 2 v 2 



Les asymptotiques a = const. sont des droites parallèles au 

 plan ix -*■ y = ; les asymptotiques p = const. sont des 

 cubiques gauches. 



En éliminant a et S entre les trois équations ci-dessus, on 

 obtient l'équation cartésienne de la surface 



I . - z 



ix _ xj .+. (ta -t- y/ — - ;<j; -+- y) = 0. 



Celle-ci, on le voit, est du troisième ordre. En général, une 

 surface cubique réglée possède deux directrices rectilignes dont 

 l'une est une droite double de la surface. Il peut se faire que 

 ces deux directrices soient confondues ; c'est ce qui se présente 

 ici : cette directrice est située à l'infini dans la direction du 

 plan ix -*- y = 0. 



5. L'élément linéaire de la surface est donné par la formule 



ds* = — \{u — vfdudv 



