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 en vertu (lesquelles l'équation (21) devient 



dxdx' -+- dydy' -+- dzdz = 0. 



Concluons de là que la surface cherchée a pour coordonnées 

 x\ y\ %'. 



Le rapprochement des formules (22) et du théorème du 

 n° 14 conduit sur-le-champ à la détermination de cette surface, 

 et, si l'on fait usage de la terminologie de la géométrie 

 cayleyenne, on peut énoncer le théorème suivant : 



La surface la plus générale qui correspond à la surface (R) avec 

 orthogonalité des éléments est la développée moyenne cayleyenne 

 de la surface enveloppe du plan 



(1 _ M * + v ')x — - (1 -*- u 1 — v*)y -+- 2w2 -+- f{2u) -h P (2v)=0, 



fi 



la quadrique fondamentale ou absolue étant la courbe d'inter- 

 section du plan de l'infini et du cône x 1 — k'y- -+- z* = 0. 



Pour obtenir les coordonnées de cette surface, il suffira de 

 remplacer, dans les formules (16), y par — ~, 



Parmi les surfaces satisfaisantes, se trouvent notamment 

 {voir n° 21) toutes celles qui sont définies par l'équation 



* 2 -fi-*" * 4 = /(!/- **)• 



IV. 



Les surfaces minima a lignes de courbure planes. 



28. On sait que lorsqu'une ligne de courbure tracée sur une 

 surface quelconque est plane, son image sphérique est un 

 cercle. D'autre part, les lignes de courbure d'une surface 

 minima ont pour représentation sphérique un système ortho- 

 gonal et isotherme. Concluons de là que la représentation 

 sphérique des surfaces cherchées est un système orthogonal et 



