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 Iracion del teoiema de limile demostrado en el parrafo II, si 

 se funda uno en el teorema bien conocido de Newton. Igual- 

 menle se generaliza la demostracion que Mr. Fournier-Van- 

 son creyo que solo era aplicable a las ecuaciones de tercero y 

 cuarlo grado. 



V. 



Generalmente, despues de halladas las ecuaciones entre 



las J^ y A, se resuelven con relacion a ^, J",, J^^ , y se 



aplican bajo la nueva forma; pero si se nota que las ecuacio- 

 nes (a), tales como se ban obtenido primerameute, estan pre- 

 paradas para el calculo, puesto que la ultima no contiene mas 

 que A, la penullima /; y /j, y asi sucesivamente, se ve que 

 la sustitucion de una forma con otra no ofrece casi ventaja; 

 pero decimos, por el contrario, que importa conservar a las 

 ecuaciones su forma primitiva. 



Efectivamente, si se compara la formula 



demostrada en los tratados de algebra, con cualquiera de las 

 cuatro formulas de inlerpolaciou sentadas en el parrafo 111, 

 se ve que los ultiraos miembros de las ecuaciones, tales co- 

 mo (a), son, para un valor x<=a, del mismo signo respectiva- 



mente que f{a),f'{a) , ["{a). Pero segun el teorema de 



Fourier, las dos sucesiones de signos que presenta la serie de 



funciones f{x), f'{x), f"{x) por dos numeros ayb, dan un 



limile superior del niimero de las raices de la ecuacion com- 

 prendidas entre a y b; por consecuencia, para proceder con 

 regularidad a la separacion de raices, se debera ver cuales 

 son los signos de los segundos miembros de las ecuaciones ta- 

 les como («) (*); y entonces el teorema de Fourier podra in- 



(*) Si los signos que corresponden a un numero n son todos positi- 

 Tos, a sera un h'mite superior de las raices positivas. Por lo demas , pue- 

 de demostrarse que dicho h'mite a (que se supone entero para mayor 

 sencillez), nunca ha de ser inferior en mas de (m — 1) unidades al limite 

 del programa, y mucho menos al que se acaba de dar a conocer. 



