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 racionales comensurables solamente enpolencia (proposicion 22). 



La espresion de esla linea es de !a forma x=Va'Vb, pueslo 



que dara x''=aVb; a y Vb represenlan dos lineas comensu- 

 rables solamente en potencia. 



Euclides aplica estas misraas definiciones a las superfi- 

 cies. Llama racional al cuadrado de la linea toraada por ler- 

 mino de comparacion {definicion 8); superficies racionales a lo' 

 das las superficies comensurables con esle cuadrado {defini- 

 cion 9/), e irracionales a lodas las superficies incoraensura- 

 bles con el mismo {definicion 10). Enlre estas ultimas distin- 

 gue una, la queUenomina espacio medio, y es el rectangulo 

 conslruido sobre dos lineas medias, comensurables en longi- 



tud (proposicion 25), cuya espresi«n es o' n'-\/ n, 6 simple- 

 mente y n, pues las dos medias comensurables en longitud 



seran aV n, y n' ay n, y sm producto a^ n' yn. 



Despues de la media, considera Euclides las irracionales 

 compuestas de dos lineas por via de adicion 6 de sustraccion. 

 Son 12, formandose 6 de ellas por adicion y las restantes por 

 sustraccion. Estas 12 irracionales, juntamente con la media, 

 constituyen el objeto del libro X de los Elementos, en el cual 

 se da su construccion y sus propiedades. 



Dicho libro contiene 117 proposiciones, de las cuales pue- 

 den 36 ser consideradas como preliminares necesarios para 

 emprender la teoria de las 12 irracionales por adicion 6 sus- 

 traccion. El objeto de las 36 proposiciones es el siguiente. 

 Las 22 priraeras son relativas a la comensurabilidad o inco- 

 mensurabilidad de las reclas en longitud, y de las magnitudes 

 en general. Las proposiciones 23 hasta la 27 se refieren a las 

 lineas racionales y a las medias, tratando do su comensurabi- 

 lidad en longitud y potencia. En las proposiciones 28 a 33 

 se construyen dos racionales 6 dos medias, comensurables so- 

 lamente en potencia, y cuyo rectangulo salisface a cualquiera 

 condicion. Finaimente , en las Ires proposiciones siguien- 

 tes (34, 35 y 36) se construyen dos rectas comensurables en 

 potencia, cuya suma de cuadrados y el rectangulo forman su- 



