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pedicies racionales 6 medias; y luei,'0 en la proposicion 37 

 da principio a la leoria de las 12 irracionales. 



Estas se componen, como dijimos, por adicion 6 suslrac- 

 cion de dos lineas. Concibese que eslas dos Jineas no pueden 

 ser comensurables en longilud, pues su diferencia 6 suraa 

 (laria una simple linea monomiade igual naluraleza que ellas. 

 Preciso es,pues, lomar dos lineas incomensurables en longilud. 

 Euclides distingue, por lo tocanle a los cuadrados 6 potencias 

 de estas dos lineas, el caso de comensurabilidad y de inco- 

 mensurabilidad. En el primero loma dos lineas racionales 6 

 medias. Debiendo eslas lineas ser comensurables en potencia, 

 al momento se echa de ver que ambas son necesariamente 

 racionales 6 ambas medias, y que su rectangulo es racional 6 

 medio. 



De aqui nacen Ires irregulares, formadas: 



La priraera, de d(>s lineas racionales cuyo rectangulo es 

 medio. 



La segunda de dos lineas medias, cuyo rectangulo es ra- 

 cional. 



Y la tercera de dos lineas medias cuyo rectangulo lo es 

 tambien. 



En el segundo caso, eslo es, siendo ambas lineas inco- 

 mensurables en potencia, Euclides no les designa, corao en 

 el caso de la comensurabilidad, una cualidad determinada y 

 eslricla, por ejemplo , la de ser necesariamente racionales 6 

 medias, sino que recurre a olras condiciones, que conciernen 

 al rectangulo de las dos lineas y la suma de sus cuadrados; 

 y pide que cada una de estas superficies sea racional 6 media. 



De estas condiciones nacen tres corabinaciones: 

 1." Suma racional y rectangulo medio. 

 2.* Suma media y rectangulo racional. 

 3." Suma media y rectangulo medio. 



Los pares de lineas delerminadas en estos tres sislemas, 

 forman tres nuevas irracionales. 



De estas consideraciones se deduce que las seis irracio- 

 nales, sea por adicion 6 por sustraccion, estan colocadas en 

 dos grupos que tienen dislinto caracter. 



Las tres primeras estan formadas por dos lineas raciona- 



