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 visla que no deberia haber mas que dos lineas racionales de 



estc genero, una de la forma n + \/n', y la otra \/»-(-y"^'. 

 Sin embargo, Euclides distingue seis especies diferenlcs, de- 

 nominandolas/)rmera/wm de dos nomos,segiindalmea de dos 

 norms, etc. 



La distincion de estas seis irracionales de dos nemos de- 

 riva de la siguiente consideracion. Si se forma la proporcion 

 de la raiz cuadrada de la diferencia de los„cuadrados de los 

 dos lerminos del binomio irracional con el mayor de los dos, 



esta proporcion sera necesariamente de la forma n 6 ^/ n; y 

 estos son los dos casos que Euclides considera. Sean Ay/? 

 los dos lerminos 6 nomos de una I'mea de dos nomos; la propor- 

 cion de que se trata sera v ^ — ^\ suponiendol>Z?, y esla 



A 



proporcion sera de la forma n 6 V n. Debiendo ser A siem- 

 prejnayor que B, y siendo estas dos lineas de la forma n 6 



Vn, se ve que el binomio A-\-B lendra en cada uno de los 

 dos casos relatives a la proporcion de que se trata las ires 

 formas siguientes: 



a-\-Vb. Va-\-b, V^+V*- 



De aqui se derivan las seis especies de tineas de dos nomos. 



Despues de haber hecbo esta distincion en seis definicio- 

 nes, construye Euclides las seis lineas de dos nomos (proposi- 

 clones 49—54), y demuestra una propiedad importante de las 

 seis irracionales que forman los dos grupos definidos ante- 

 riorraente, a saber, que ^Ma media proporcional entre una 

 linea racional y una recta de dos nomos, es una de las seis 

 irracionales (proposicioncs 55— 60);'^ y reciprocamente: ^^que 

 cada una de las seis irracionales es siemprc la media propor- 

 cional entre una racional y una linea de dos nomos (;wojoo«- 

 non« 61— 66);" 6 en otros terminos, mas analogos al estilo 

 moderno, es lo mismo que decir que cada una de las seis ir- 

 racionales es la raiz cuadrada de un binomio, del cual cada 

 lermino es una superiicie racional 6 media, es decir, de la 

 forma n 6 V"- 



