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 Esia herraosa propiedad aclara mucho loda la leoria de 

 las irracionales del libro X de Euclidcs, pues esta leoria esta 

 cifrada en la espresion de la raiz cuadrada del binomio A-\-B, 

 que es la siguienle: 



Los dos lerminos del primer miembro son las dos lineas 

 cuya suma forma una irracional, y las seis irracionales dis- 

 tinguidas por Euclides corresponden ^ los seis casos que pre- 



senta la razon V^" -^' ^ scgun es de la forma n 6 V w, coma 



A 

 tenemos dicho. 



Euclides demueslra que una recta comensurable en lon- 

 gitud con una de las seis irracionales, es una irracional de 

 igual especie (proposiciones 67—71). Luego, que la raiz cua- 

 drada del binomio A-{-B, en el cual A y ^ son dos superfi- 

 cies, una racional y olra media, 6 ambas medias, es una de las 

 seis lineas irracionales [proposiciones 72 — 73). En la analisis, 

 esla proposicion no se diferencia de las que espresan que la 

 media proporcional enlre una racional y una linea de dos 

 nomos es una de las seis irracionales {proposiciones 55—60); 

 pero en geomelria, y en el estado de separacion absoluta en 

 que se enconlraban estos dos ramos de las malemalicas, Eu- 

 clides debia caminar paso a paso, sin separarse del rigor que 

 formaba el caracter de la ciencia en Grecia; y se echa de 

 ver que nada hay inulil en las 37 proposiciones (37—73) que 

 consagro a la conslruccion y demoslracion de las propieda- 

 des de las seis irracionales por adicion. 



La misma marcha sigue, y las mismas propiedades de- 

 mueslra respeclo de las seis irracionales por suslraccion {pro- 

 posiciones 74 — 111). 



Eslas se colocan tambien en dos grupos, como las ante- 

 riores. Las Ires irracionales del primer grupo se componeii 

 de dos racionales 6 de dos medias, comensurahles en potencia 

 solamente; y las Ires del segundo grupo, de dos lineas inco- 

 mensurabks en ;)o/enew, delerrainadas por dos condiciones, a 



