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 saber: que la suma de sus cuadrados ij su rectdngido seao dos 

 superficies racionnles 6 medias. 



La priraera irracional del primer grupo, formada por dos 

 racionales comensurables en potencia solamenle, que correspon- 

 de a la linea de dos nomos en las irracionales por adicion, se 

 llama apolomo 6 residuo. Euclides dislingue seis apotomos, que 

 danomina primero, segundo, etc., por las mismas considera- 

 ciones que le indujeron a distinguir seis Uneas de dos nomos. 



Las seis irracionales por sustraccion, valiendonos del len- 

 guaje moderno, son las raices cuadradas de los seis apoto- 

 mos (proposiciones 98—103). 



Euclides completa esta teoria deraostrando que un apolo- 

 rao no es una linea de dos nomos {proposicion 112). Y de 

 esto infiere que sus doce irracionales binomios, juntamente 

 con la media, forman Irece lineas de especies diferentes. Lue- 

 go se encuentran tres proposiciones (113—115), que espre- 

 samos con la identidad 



iV'ai-Vb) {^/a-^/b)=a-b. 



En otra demuestra que existen infinitas irracionales de 



orden superior a la media; son las irracionales como y a 

 [proposicion 116). 



Finalmenle, la proposicion 117, ultima del libro, liene 

 por objeto demostrar que la diagonal del cuadrado es inco- 

 mensurable en longitud con el lado. 



Pasemos al comentario del autor griego. 



Comentario de Valens. 



Mr. "Woepcke ha repartido en dos secciones distintas la 

 analisis de este comentario, enconlrado, como ya se ha di- 

 cho, en una Iraduccion arabe. 



En una de estas secciones, que forma los parrafos 10, 11, 

 12 y 13 de su memoria, y que es continuacion inmediata de 

 una analisis sucinta del libro X de Euclides, ha reunido to- 



