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Resulta de aqui, que totlo numero cuadrado se compone, 

 segun se sabia ya, de la adicion siicesiva de los numeros im- 

 pares principiando por la iinidad; y que la diferencia enlre 

 dos cuadrados es, 6 un numero impar, 6 la suma de varios 

 numeros impares consecutivos. 



Ademas, loda scrie de dicha clase de numeros puede di- 

 vidirse en olras dos compuestas de numeros impares alterna- 

 dos, es decir, lomados dos a dos, y cuyas sumas rcspectivas 

 son los dos numeros triangulares adyacenles 6 que siguen in- 

 medialamente en el orden de los triangulares. La suma de 

 estos dos ullimos numeros es, como se sabe, un numero cua- 

 drado. 



Ejemplo: 



l_}_3_^S+7+9+ll-fl3r=(l+5+9-l-13) +(3+7+11) 

 =28+21=40=7'. 



2.° Todo cuadrado if es la suma de una progresion arit- 

 metica de n lerminos, de los cuales el primero es 4 (n+1), y 

 la diferencia comun 1. 

 Y se liene 



1=V, l.+2.^=2^2+3+4=3^2^+3i+44+5.|=4^ 3+4 

 +5 + 6+7=5^ 3i+4i+5.j+0i+7.i+8i =r, 4+5+6+7 

 + 8 + 9 + 10=7^ 



Se ve pues por esto, que el cuadrado de un numero irapar 

 es la suma de otros tantos numeros naturales consecutivos 

 como unidades liene su raiz; resultando tambien que todo cua- 

 drado de numero impar es la diferencia entre dos numeros 

 triangulares, cuyas bases son respeclivamenle (3n+l) y n. 

 En efecto, por lo mismo que es la suma de una serie de nu- 

 meros naturales, el cuadrado del numero impar de que trata- 

 mos es la diferencia entre dos seiies de numeros naturales 

 que principian por la unidad; es asi que cada una de ellas es 

 un numero triangular; luego, etc. Asi pues 



7'=4+3+6+7+8+9+10=l„+2+3+4+5+6+7+8 



