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 -f-9+10— (l+2-lr3)=53— 6; 55 y 6 son dos uiiraeros trian- 

 gulares, ciiyas bases son 3 y 10, porque se ve bien que 10 

 =3.3+1. ' 



Tambien se adverlira que aquellas series cuyas sumas 

 son cuadrados de niimeros impares, pueden tomarse de lal 

 nianera que, colocadas unas a conlinuacion de otras, forraen 

 una progresion no interrumpida de niimeros naturales, prin- 

 cipiando por la unidad, siendo su suma un niimero triangu- 

 lar; asi se liene 



(l)+(2+3+4)-f (3+ 6 + 7+8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 

 + elc. = r+3=+9'+27^+...+3J^^ y esla ultima suma es 

 por consiguiente el niimero triangular que tiene por base 1 

 +3+9+27+. ..+3n. 



Segunda aplicacion. Niimero ciibico: a es igual a 3. El 

 primer termino es n--\-id{l — n). Sentado esto, resulta: 



1.° Cada cubo n^ esla suma de una progresion arilmetica 

 de n terminos, siendo el primero la unidad y la diferencia d 

 =2(«+l); obleniendose 



. \=V, 1+7=2', l+9+17=3\ 1+11+21+31 = 4», 1 

 + 13 + 23 + 37+49=5^ 1+15+29+43+57+71=6', 1 

 +11 1-33+49+ 65+81+97=7'. 



2." Todo cubo n^ es la suma de una progresion arilmetica 

 de n terminos, de los cuales el primero es la raiz n, y la di- 

 ferencia 2r J se tiene 



1=V, 2+6=2', 3+9+13=3', 4+12+20 + 28 = 4'. 3 

 +13+25+33-1- 45 = 3\6 + 18+30 +42 + 54+66 = 6', 7 

 +21+33+49+63+77+91=7'. 



Los liltimos terminos de estas series son los niimeros trian- 

 gulares alternados; si se divideu respectivamenle por los pri- 

 meros terminos, los cocieutes seran la serie de niimeros im- 

 pares. 



