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 3." Tocio cubo n' os la sum a do una progrcsion aritmelica 

 de n lerminos, de los cualcs el primero sei'kri'—n-\-l y la di- 

 ferencia 2. Resulla de acjui 



1=1', 3+5r=2^ 7+9 + 11 =3\13+15+17-|-10 = 4». 21 

 + 23 + 20+27+29=5', 31+33+35+37+39+41=6% 43 

 +45+17+49+51+53+55=7'. 



Nolese que el conjunlo de estas progresiones, puestasunas 

 debajo de las olras, es la disposicion triangular de los niime- 

 ros impares en su orden natural. Cada cubo es la suraa de 

 otros tantos numeros impares consecutivoscomounidadeshay 

 en su raiz. El conde de Adhemar habia descubierto ya esla 

 proposicion. El teoreraa conocido de que la suma de los cu- 

 bes de una sucesion cualquiera de numeros naturales que 

 principia por la unidad, es igual al cuadrado de la suma de 

 las raices 6 al del niimero triangular correspondiente, es una 

 consecuencia inmediata de lo que precede; efectivamenle, 

 resulta 



l'+2'+3'+4'...n'=(l+2+3+4...+n)==[4n(n+l)"-J. 



Siendo la suma de cualquiera serie de numeros impares 

 que principia por la unidad, segun se ha vislo, el cuadrado 

 del niimero de terminos de la serie, la suma de los numeros 

 de cada triangulo formado por la disposicion triangular de los 

 impares, ha de ser necesariamente igual al cuadrado de un 

 niimero triangular. Tambien se advertira facilmente, que todo 

 cubo es la diferencia de los cuadrados de dos niimeros trian- 

 gulares consecutivos; y que la diferencia de los cuadrados de 

 dos numeros triangulares cualesquiera es la suraa de dos cu- 

 bes consecutivos. Buscando la diferencia enlre los cuadrados 

 de dos numeros triangulares que scan simples cubos, se esla- 

 blecen las ecuaciones siguienles: 



3'+4'+5'=6', ll'+12'+13'+14'=20'. 



3." Todo cubo n' es la suma de una progresion aritmelica 



