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de n lerminos, tie los cualesel priraero es el numero triangu- 

 lar in (w+l) y la diferencia n; resullando 



1 = 1', 3+5 = 2', + 9+12=:3\ 10+li+18-{-22=4», 

 15+20 + 23+30+3o=5\ '2t-}-27+33+39+4o+51=6', 

 28+35+42+49+56+03+70=']'.... 



Cada numero de los de estas series es asimismo la suma 

 de una progresion aritmelica de n terminos. Considereraos por 

 ejeraplo la serie que da el cubo de 5, y tenemos 



15=^1+2+3+4+5 

 20=2+3+4+5+6 

 25=3+4+5+6+7 

 30=4+5+6+7+8 

 35=5+6+7+8+9. 



Los numeros que preceden forraan un cuadrado, y su su- 

 ma es igual al cubo del numero que ocupa a la derecha el an- 

 gulo superior 6 el inferior a la izquierda. La suma de los nii- 

 meros de la diagonal es el cuadrado correspondienle, y en 

 case de ser un numero impar, las sumas de los numeros de 

 las lineas medias, horizontal y vertical son ese mismo cua- 

 drado. • 



Lichtemberg habia designado ya la relacion que precede 

 en los terminos siguientes: si a es un numero enlero y A 

 la suma de todos los numeros naturales desde 1 hasta a, se 

 tendra 



a'=A+(A+a)+(A+2fl)+(A+3a)+[A+{a-l)a]. 



4.° Todo cubo n' es la suma de una progresion aritmelica 

 de n terminos, de los cualcs el primero es (n— 2)^ y la dife- 

 rencia 8; y resulta 



0+8=2', l+9+17=3^ 4+12+20+28=4', 9+17+25 

 + 33 + 41 = 5\ 16 + 24+32+40+48+56=0', 25+33 + 41 

 +49+57+65+73=7'. 



