390 



Todas las series que enlro eslas se hallan formadas por iin 

 numoro impar de lerminos, conlienen dos lu'imeros cuadrados 

 impares conseculivos. 



La progresion arilnielica de numeros no interriimpidos to- 

 rnados a conlar desde la iinidad, y cuya diferencia constante 

 es 8, presenta cuando se halla dispuesla en forma triangular 

 particularidadcs curiosas: los primeros lerminos de cada linea 

 son los cuadrados de los numeros impares en su orden regu- 

 lar, y las sumas de todos los numeros de dos lineas consecu- 

 tivas son el cubo de un numero impar. Deducese de tal dis- 

 posicion la igualdad siguiente: 



(2«+l)'=l+8. ^(n+l). 



De donde sale la conclusion, que cada numero triangular 

 multiplicado por 8 con el aumento de 1 es igual al cuadrado 

 de un numero impar; 6 que el cuadrado de un numero impar 

 cualquiera rebajando 1 es divisible por 8, y el cocienle de la 

 division es un numero triangular. 



Tercera aplicacion.-^Potencias superior es a la tercera. Mr. 

 Wheatstone se limila a ciLar un ejemplo. Toda cuarta poten- 

 cia n* es la suma de una progresion aritmetica de n lerminos, 

 de los cuales el primero es n% y la diferencia 2n\ 



1=1*, 4+12=2*, 9+27+45=3*, 16+48+80+112=4*, 

 2-) + 75 + 123+175+ 225=5*, 36 + 108 + 180+252+324 

 +396=6*. 



Otro miembro de la Sociedad Real, el R. James Booth, 

 rector de Wandsword, ha descubierlo y demostrado tambien 

 algunas propiedades de los numeros, que le ban parecido nue- 

 vas y dignas de atencion. 



1." Un numero de seis cifras, formado por la repeticion 

 de un periodo de tres de ellas, cualesquiera, es divisible por 

 los numeros primos 7, 11 y 13. Efeclivamente, un numero 

 cualquiera N de seis cifras puede escribirse asi: 



100.000a + 10.0006 + 1.000c + 100rf+10c+/". 



I 



