Üb('r Brechung und Rcßexion unendlich dünner t^irahlensysteme an Kugelflächen. 171 



Einfallspiinkte, E und E' aber, die in der Einfallsebeue gelegene Kugeltangeute entsprechend gemein haben, 

 so ergibt sich die Eichtigkeit des folgenden Satzes: 



(())... Schneidet man ein beliebiges, unendlich dünnes, einfallendes Strahlensystem 



und das durch Brechung daraus entstandene, durch zwei Ebenen I' und 7", welche 

 beziehungsweise durch die Axen S und S' der Systeme hindurchgehen und auf der 

 Ebene SS' senkrecht stehen, so sind die ebenen Systeme 1' und J' zu einander 

 perspectivisch und Gleiches gilt von den in einander liegenden ebenen Systemen E 

 und E', die zusammenfallen mit der Ebene SS'. Von je zwei entsprechenden Strahlen 

 dieser Systeme ist dereine der gebrochene des anderen und von je zwei entsprechen- 

 den Punkten in 7' und 7" ist dereine der erste Bi Idp unkt des anderen, der zweite Bi Id- 

 p u n k t des anderen aber in E u n d E'. Es sind also auch perspectivisch die R e i h e n 

 der ersten und zweiten Bildpunkte in der einen Axe zur Reihe der in der anderen 

 Axe gelegenen Centras homocentrischer Strahlenbüschel und die beiden erst- 

 genannten Reihen unter einander proj ectiviscli. 



Daraus, dass der zu einem Punkte a auf 6' gehörige erste Bildpunkt a[ auf der Geraden ak liegt, oder 

 dass zwei entsprechende Strahlen von P und P mit der Einf'allsnormale in einer Ebene liegen müssen, die 

 nlso immer dui-cli k geht, folgt sofort, dass der Kugelmittelpnnkt k das perspectivische Centrum der Systeme 

 / und /" ist. Es erüi)rigt noch, das CoUineationscentrum der beiden in einander liegenden Systeme E und E' 

 aufzufinden. Zu diesem Zwecke sei in Fig. 3 l-u'n die Gerade, welclie mit dem einfallenden Strahle Sm bei n 

 einen Winkel gleicii dem Brecliungswinkel einschiiesst. Zu einer Punktreihe auf S gehören auf S' die beiden 

 Reihen, gebildet von den ersten und zweiten Bildpunkten. Für diese in einander liegenden projectivischen 

 Punktreiiien ist nun offenbar m ein Doppelpunkt, aber auch w' in Folge des Satzes (2), d. h. in m. und in «' 

 fallen' erster und zweiter Bildpunkt zusammen. Die in n' zusammenfallenden Bildpunkte entsprechen dem 

 Punkte w auf S, da sonach kn'n die Verbindungslinie von n mit seinem zweiten Biidpunkte in n' ist, so muss 

 das gesuchte Centrum auf dieser Geradon liegen. Erinnern wir uns noch des Satzes (4), so ist, mit Rücksicht 

 auf die in (5) gegebene Definition der zweiten Bildpunkte, sofort ersichtlich, dass h'^ der zweite Bildpunkt 

 von // ist, somit liefert der Durchschnitt der Verbindungslinie bb'^ mit kn das gesuchte CoUineationscentrum l 

 der Systeme E und E'. 



(7)... Die Systeme P und 7" schneiden sich in einer Tangente an die brechende 



K u g e 1 f'l ii c he und haben i h r p e r s p e c t i v i s c h e s Centrum im M i 1 1 e 1 p u n k t e k d e r s e 1 b e n. 

 Die in einander liegenden Systeme £ und E' haben zur CoUineatio nsaxe die Tan- 

 gente an die brechende Kugelfläche im Einfallspunkte, ihr Coli ineation scentrunW 

 liegt auf einer durch den Kugelmittelpnnkt gezogenen Geraden, die mit dem ein- 

 fallenden und gebrochenen Strahl Winkel bildet, die gleich sind dem Brechungs-, 

 beziehungsweise dem Einfallswinkel und auf der Geraden, welche die Schnitt- 

 punkte eines um den Einfallsradius als Durchmesser geschlagenen Kreises mit 

 den einfallenden und gebrochenen Strahl verbindet. 



Sehr einfach und elegant wird hiernach die Construction, durch welche man zu irgend einem Oftject- 

 punkte, d. h. zu einem Centrum eines einfallenden honiocentiischen Strahlenbündels die beiden Biidpunkte 

 oder die Bildstrecke findet. 



(8)... Die zu irgend einem Objectpunktc gehörige Bildstrecke ist die Central- 



projection der zugehörigen Strecke /■/ auf die Axe des geljroclienen Strahlen- 

 bündels aus dem Objectpunktc. 



Zieht man durch /• und / Paralle zu /S' und S', so ergeben sieh die Brennpunkte und Brennst recken 

 auf S', respective auf S. 



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