1V2 J^. Lippi.ch. 



Beziehung- /wischen Objectraum uiul Bild i;iuni. 



Sind im Räume N irgendwelche reelle oder imaginäre Objectpunkte gegeben als Mittelpunkte homo- 

 centrischer Strahlenbiischel, alle gelegen unendlich nahe an S, Fig. 2, deren Strahlen einfallen in den Punkten 

 eines Flächenelcnientes der brechenden Kugelfläche bei m, so soll die Beziehung ermittelt werden zwischen 

 diesen Objectpunkten und den ihnen entsprechenden ersten und zweiten Bildpiinkten im Räume N'. Durch die 

 vorhergehenden Betrachtungen ist die Beziehung zwischen Object- und liildpunkten nur aufgefunden worden 

 für specielle Lagen ebener Systeme. Ausserdem war diese aufgefundene Beziehung beschränkt durch 

 die Annahmen, dass entsprechende Strahlen unendlich kleine Winkel bildeu mit <S', respective mit 6", ohne welche 

 15cschränkung die perspectivische Lage der Systeme E und E', wie sie in ((5) und (7) ausgesprochen wurde, 

 nicht behauptet werden könnte. ' 



Da einem Objectpunkte zwei Bildlinien entsprechen und jeder Punkt einer solchen Bildlinie :ils Bild- 

 punkt angesehen werden kann, so ist die so eben gestellte Aufgabe keine eindeutige. Hie kann aber 

 dadurch zu einer eindeutigen gemacht werden, dnss wir eine Fcstsetzuug darüber eintreten lassen, was wir 

 unter der Axe des einfallenden Strahlenbündels verstehen wollen; auf dem dieser Axe entsprechenden 

 gebrochenen Strahl, oder der Axe des gebrochenen Stralilenbündels, liegen alsdann die Hildpuiikte. 



Zweierlei Festsetzungen können diesbezüglich getroffen werden, die zu besonders einfachen Resultaten 

 führen. Entweder, wir nehmen jene Strahlen der einfallenden Bündel zu Axen derselben, die durch einen und 

 denselben Punkt n auf der Kugel S, oder aber jene Strahlen sollen Axen sein, die durch einen und denselben 

 Punkt m auf der brechenden Kugel gehen. Wir wollen uns für die letztere Alternative entscheiden. 



Zu den Punkten des unendlich dünnen Raumtheiles in N, dessen Axe -b' ist, suchen wir die ersten und 

 zweiten Bildi)unkte, welche gewisse unendlich dünne Raumtheile in A'' erfüllen werden, deren Axe S' ist. 

 Sowohl Objectraum A' und erster Bildraum (Raum der ersten Bildpunktc) A'j als auch Objectraum und zweiter 

 Bildraum A'^ können collinear auf einander bezogen werden. Es ist hiefür zunächst nothwendig, dass zu 

 Objectpunkten auf einer Geraden Bildpunkte gehören, die wieder auf einer Geraden liegen. Dies ist in der 

 That der Fall. 



Ist nämlich die Gerade, auf welcher die Objectpunkte liegen, um einen endlichen Winkel gegen 8 geneigt, 

 so liegt nur ein unendlich kleines Stück derselben im Räume iV und die Bildpunkte werden ebenfalls gelegen 

 sein auf einem unendlicb kleinen Gurvenstück in A^', oder iV, , das, mit Vernachlässigung unendlich kleiner 

 Grössen zweiter Ordnung, als geiade angesehen werden darf. Ist aber die Gerade A mit der Punktrcihe 

 ahc... um einen nnerdlich kleinen Winkel geneigt gegen S, so führt tblgeude l'berlegung zum Ziele. Wir 

 construircn zu ^1 den gebrochenen Strahl A' und auf diesem die Reihe der ersten und zweiten Bildpunkie, 

 so\\ie die Bildlinien in denselben. Zu ahc sind nun aber jene ersten und zweiten Bildpunkte zu suchen, die 

 den Strahlen «»/, h/n, c»i. . . als Axen der einfallenden Bündel entsprechen, also auf den diesen Strahlen zu- 

 gehörigen gebrochenen Strahlen liegen; es sind die Schnittpunkte letzterer Strahlen mit den früher construirt 

 gedachten Bildlinien. Aber die gebrochenen Strahlen liegen in einer Ebene, in der Ebene durch m nändich 

 und das von jenen Punkten n' auf ^' gebildete Linienelement, die behufs Gonstruction der gebrochenen Strahlen 

 zur Verwendung konnnen. Der Schnitt dieser Ebene mit den ersten und zweiten Bddlinien gibt daher die 

 Reihe der ersten und zweiten Bildpunkte, welche Reihen, da die ersten Bildlinien unter sich parallel sind (sie 

 liegen in der Ebene AA' senkrecht zu A') uud die zweiten Bildlinien ebenfalls (sie stehen senkrecht auf der 

 Ebene AA') nothwendig Gerade sind. 



Lässt man nun jeden Objectpnnkt seinem ersten, beziehungsweise zweiten Bildpnnkt entsprechen, nimmt 

 ferner als entsprechende Gerade und Ebenen jene, welche durch cutsprechende Punkte gehen, so ist der 



1 In <lor That sind zwei unciiillicli iialie Pniil<tc ali iu E p'H'clicii, deren Vcrbiiuliing-.slhii(^ .mIiim' die 'l':iiif;ente in m 

 nie, lil unendlicli nalu^ an m Irirt't, und snclit man iliri^ zweiten ltild|)Mnl<te «gAji ^'^ ''•'■'''' ""'" '''"^ Verä.iderliclikeit des 

 Pnuktos / mit dor Uiclitnnf^- des einfallenden .Stnildes nielit .insscu- Aelit lassen, da. dies in der Rirlitnns d(M- VerhindmcKd - 

 linie «Jjij eineu ondliclKMi Felder lierviirlninHt. 



