über P,rirhuvci innl Jfeflex/on nnrvdlich diiniipr Sfrnh/en.^i/.itemc nn Kugelflärhn. \1'>, 



Raum iVfollinenr zu N[ und zu A'^. Jedocli ist /.ii bemerken, dass jetzt zwei entsprechende Gerade niclit immer 

 in der Beziehung- von einfallendem und gelirtx heneni Strahle stehen. Denn betrachtet man z. B. einen von « 

 ausgehenden Strahl, der nicht in der Ebene P liegt, so geht sein entsprechender Strahl wohl durch a', 

 aber nicht der gebrochene; dieser geht durch einen anderen Punkt der Bildlinic in a\. 



Die speciellere Lage dieser collineiucn liäume gegen einander ergibt sich leicht ans der Bemerkung, dass 

 für dieselben zwei sich entsprechende Ebenen angegeben werden können, die zu einander parallel sind. Die 

 Objcetpunkfe nämlich in N, welche gelegen sind auf der Kugel }!;, erfüllen ein bei n gelegenes Fiächenelcment 

 dieser Kugel und ihre ersten oder zweiten Bildpnnkte ein Mäclieuclenicnt bei //' auf der Kugel '^'. Statt dieser 

 Flächeuelemenle kann man (unter Veniachlässigiing unendlich kleiner Grössen zweiter Ordnung) nun die 

 Tang-entenebenen T und T' in n iiml n' setzen, und dies sind also zwei entsprechende Ebenen. Diese haben 

 an die Stelle der Kngeltläclien i; und ^' zu treten, wenn man die Consiruction entsprechender Punkte und 

 Strahlen auch für Punkte in endlichen Distanzen von S und -S und für Axen von endlicher Neigung gegen 

 S und 8' ausdehnen will. 



Die ebenen Systeme 7' und 7'' sind ähnlich; der unendlich fernen Geraden des einen entspricht die 

 nni'ndlich ferne Gerade des anderen Systenies. In collinearen Räumen haben alier nur jene sich entsprechende 

 Ebenen die Eigenschaft, dass sich ihre unendlich fernen Getaden entsprechen, die den sogenannlen t<egen- 

 elienen parallel sind. Man wird also schliesseu, dass in unserem Falle die Gegenebenen oder Brennebenen 

 der collinearen Räume zu einander und zu den Tangentenebenen 7' 7" parallel liegen. 



Die Räume i\'' und N[ liegen überdies persjjectiviscli; denn Verbindungslinien entsprechender Punkte 

 gehen durch einen und denselben festen Punkte 1-. Die gemeinsame Ebene miiss durch m gehen, da dies ein 

 Doppelpunkt der beiden Räume ist und sie mnss jiarallel zu 7' und T liegen; sie möge mit 7/ bezeichnet sein. 

 In der Linie l- n' n fallen zwei entsi)rechen(le Punktreihen zusammen, irgend zwei entsprechende ebene Systeme, 

 die senkrecht stehen auf dieser Linie (parallel sind zu den Gegenebenen) sind ähnlich und ihr Ahnlielikeits- 

 punkt liegt auf dieser Linie selbst, und weil er auch auf aa[ liegt, ist es der Punkt k. Kurz, man hat genau 

 dieselbe Beziehung zwischen den Räumen N und K[ wie sie auch vorhanden ist zwischen Olijcct- und Mild- 

 ranm im Falle sehr kleiner Einfalls- und Brechungswinkel. In der Tliat nimmt in diesem Falle auch die 

 Ebene II eine zur Strahlenaxe senkrechte Lage an. 



(9)... Wählt man jene Strahlen der einfallenden und gebrochenen Strahlenbündel zu 



Axcn derselben, die hindurchgehen durch einen und denselben Punkt m auf der 

 brechenden Kugelfläche, so sind der Objectraum und sein erster Bildraum per- 

 spectivisch zu einander. Das Centrnm des gemeinsamen Strableubündels ist der 

 Kugelmittelpunkt A-, die gemeinsame Ebene II geht durch m und steht senkrecht 

 zur Linie kn' n, welche den auf der Kugel S gelegenen Objectpunkt n für einen 

 mittleren Strahl »S' mit seinem ersten Bild))unkt n' auf i]' verbindet; in dieser Linie 

 fallen jene zwei entsprechende Punktreilien über einander, die zu den Gegen- 

 oder Brennebenen senkrecht stehen. 



Die Räume N und N'.^ jedoch befinden sich nicht in der gleichen einfachen Lage zu einander. Von der 

 Scliaar entsi)rechender paralleler Ebenen, die, wie oben bemerkt, zu den Ebenen T und 7'', also auch zu ein- 

 ander parallel sind, fallen zwar auch jetzt in der durch m gehenden Ebene II zwei entsprechende ebene 

 Systeme auf einandei-; allein diese Systeme decken sich nicht, sind nicht congruent, wohl aber ähnlieh. Um 

 dieses einzusehen, hat man sich zunächst zu erinnern, dass die Systeme jedenfalls affine sein müssen, 

 und weiter zu bemerken, dass sie perspectiviscli liegen. Denkt man sich nämlich zu irgend einem in m 

 einfallenden Strahle A den gebrochenen A' construirt, so werden die Ehenen SA und S' A' die Ebene // 

 in derselben Geraden schneiden, somit haben die beiden Systeme ein Strahlenbüschel mit dem Mittelpunkte 

 in m entsprechend gemein, und da sich ihre unendlich fernen (ieraden entsprechen, so sind die Systeme 

 ähnlich. 



