I 74 F. Lipjrich. 



Das Vcrliältniss zweier entspi-ecliender Strecken lässf sieh ieiclit angeben. Zu diesem Zwecke betrachten 

 wir einen von a ansgelienden iineniliich nahe an ^S' verlaufenden Strahl aq, Fig. 2, in der Ebene SS' gelegen. 

 Der ihm entsprechende Strahl, der jetzt zugleich der gebrochene ist, geht durch oj, aber auch durch q. Ist 

 nun/) der Schnittpunkt von a<j und /i^ der Schnittpunkt von a'^q mit //, so sind p uiid/)^ zwei entsprechende 

 Punkte der in // liegenden Systcne und mp : mp'^ ist ihr Ahnlichkeitsverhältniss. Da nun qp und qp'^ als 

 parallel anzusehen sind zum einfallenden und zum gebrochenen Strahle, so hat man aus irgend einem Punkte 

 der in SS' geleg'enen Kugeltnngente eine Gerade zu ziehen in dieser Ebene und parallel zu 1I\ schneidet 

 diese in den Punkten y., a und n' beziehungsweise die Tangente, den einfallenden und gebrochenen Strahl, so 

 ist das gesuchte Verhältniss das von -/.a : x^'. 



Irgend zwei entsprechende ebene Systeme, die den Gegenebenen, oder was dasselbe sagt, der Ebene H 

 parallel liegen, sind ebenfalls ähnlich. Denkt man sich nämlich zu einem Ebenenbüschel, dessen Axe S ist, 

 das entsprechende gesucht, dessen Axe also S' sein wird, so schneiden sich zwei entsprechende Ebenen dieser 

 Büschel in einem durch m gehenden Strahle der Ebene H. Schneidet man nun diese Büschel durch die 

 respecliven Ebenen parallel zu II, und geführt durch die entsprechenden Punkte a und a[ auf S und S', so 

 erhält man zwei congruentc Strahlenbiischel, deren entsprechende Strahlen parallel sind, denn sie sind 

 parallel dem entsprechenden Strahle des perspectivischen Durchschnittes H der beiden Ebenenbüscliel. Das 

 Ähnlichkeitscentrum der beiden Systeme liegt demnach auf der Geraden aa^; es kann leicht angegeben 

 werden. 



Sucht man nämlich zu einem anderen Punkte /* der Ebene durch a den zweiten Bildpunkt b!^, so liegen 

 die Strahlen bm und mb'^ in einer durch km gehenden Ebene, die Verbindungslinien bb'^ und «oj können 

 sich daher nur schneiden auf km im Putdite ■/., Fig 2. Sollen die beiden ebenen Systeme congruent sein, so 

 niuss das Ähnlichkeitscentrum unendlich weit liegen. Zieht mau demnach durch / eine Parallele zu ^-»j, welche 

 S und S' schneidet in den Punkten p wwA p!^, Fig 4, so werden die beiden durch /; und p'^ parallel zu II 

 gelegten Ebenen die verlangte Eigenschaft besitzen. 



Die beiden einander entsprechenden, zu den respectiven Gegenebenen senkrecditen Geraden A', A'^ fallen 

 nicht zusammen. Um sie zu bestimmen, kann man Gebrauch machen von dem Umstände, dass jedem Parallcl- 

 strahlenbündel in A^ ein Strahlenbiindel in N'^ entspricht, das sein Centrum auf der Gegen- oder Brennebene 

 dieses Knumes hat. Ziehen wir durch l, Fig. 4, Parallele zu <S' und S', welche diese Strahlen in /.J und /j treffen, 

 so sind diese Punkte die zweiten Brennpunkte der Strahlen und die durch sie parallel zu i/ gelegten Ebenen 

 /•j und F^ sind die Brennebenen. Sucht nmn zu dem Strahle nis in N, der senkrecht steht auf T, den ent- 

 sprechenden, so geht letzterer durch m und durch den Punkt s' auf 7", der mit s und /• auf derselben Geraden 

 liegt. Der Schnitt von ms' mit F'^ oder y^ ist also das Centrum jenes Straldenbündels in N',^, welches dem auf 

 den Brennebenen senkrechten Parallelstraldenbündel entspricht. Durch diesen Punkt normal zu F'^ geht also 

 die Gerade A'^. Durch das gleiche Verfahren gelangt man zu 'f^ und -/j,, indem man mt's als Strahl in N'.^ 

 betrachtet und seinen entsprechenden in N sucht. Die Punkte X^T und A'^' 7" liegen natürlich mit k auf einer 

 Geraden. 



Durch / geht die zweite Doppelebene parallel zu // hindurch ; in der That, verschiebt man den Raum iV^ 

 parallel zu sich selbst und zur Ebene //, bis .Y^' auf A, fällt, so wird y ein Doppelpunkt der zusammenfallenden 

 Beulen und der zweite Doppelpunkt i- muss von F'^ denselben .abstand haben wie q von 7^^; es liegt also r mit 

 / in einer zu II parallelen Ebene, weil / der Constructiou nach so liegt, dass If'^^^f^m. 



Würde man den Raum N'^ parallel zu sich selbst so verschieben, dass /(J auf y; fällt, so wären die Bäume 

 A' und N'.^ in perspectivische Lage gebracht, die Ebene durch p parallel zu // wäre die Collineationsebene 

 und (Ins Collineationscentrum wäre, wie leicht zu übersehen, der Schnittpunkt von ?mv mit A^. 



(lU)... Unter den gleichen Annahmen, wie in (9) werden Objectraum und sein zweiter 

 Bildraum collinear, die Brenn- oder Gegenebenen parallel zu einander; in der 

 Ebene //fallen zwei ähnliche Systeme über einander, deren Ähnlichkeitscentrum 

 der Punkt ?« ist. Irgend zwei entsprechende zu II parallele ebene Systeme sind 



