Über Brediuiig und Heßexiuii a tu ndl ich dünner Strahle nsysteme an hugelßäclien. 175 



ältnlich. Die Käiiine jV und N'.^ können chi icli eine blosse Translation in perspec- 

 ti vi sehe Lage gebracht werden. 



Betrachtet man endlich in A^', und A^'^ je zwei Punkte dann als entsprechende, wenn sie erster und zweiter 

 Bildpunkt eines und desselben Objectpunktes in N sind, so werden iV,.' und A^^ ebenfalls colliuear. Über- 

 dies liegen diese Räume perspectivisch; denn in 7" fallen die ersten und /weiten Bildpunkte zusammen. Ua 

 ferner die Verbindungslinien entsprechender l'unkte alle durch m izehen, so ist dieser Punkt das Centrum des 

 beiden Käunien gemeinsamen 8trahlenbündels. In der Ebene 11 fallen zwei ähnliche Systeme ziisnnnnen, deren 

 Ähnlichkeitsverhältniss dasselbe ist wie für die Käume A' und A^, weil ja in 11 die Objecl punkte mit ihren 

 ersten Bildpunkten zusammenfallen. Auch die Brenn- oder Gegenebenen können leicht augegeben werden. 

 Zu diesem Zwecke ziehen wir aus /.■ und /, Fig. 5, Parallele zu ü', welche S in den Brennpunkten /', und /j, 

 dem ersten und zweiten Brennpunkte des Strahles <S', schneiden. Zieht man alsdann die Gerade /,/, welche 

 6" schuciden mag in f^, so ist dies ein Punkt der Gegenebene von A'^, denn es ist jener zweite Bildpunkt, 

 für welchen der erste Bildpunkt im Unendlichen liegt; ebenso ist der Schnitt f ' von kj\ mit S' ein Punkt der 

 Gegenebene von A^,'. Diese Gegenebenen sind parallel zu 11 und die beiden zu ihnen senkrechten entspre- 

 chenden Geraden fallen zusanmien in der zu // senkrechten Linie mt'. 



Der erste Bildraiim und der zweite liegen perspectivisch zu einander, die 

 beiden gemeinsame Ebene ist die Tangentenebene an die Kugel ^' im Schnitt- 

 punkt mit dem Strahle S', und das beiden gemeinsame Strahlenbündel hat sein 

 Centrum in m, dem Punkte der brechenden Kugelfläche, durch welchen die Axen 

 der einfallenden S t r a h 1 e n b ü n d e 1 hindurchgehen. 



Die aufgefundenen Beziehungen gestatten die Aufgabe: zu einem gegebenen Objeetpunkte die beiden 

 Bildpunkte zu finden, in sehr mannigfacher Weise zu lösen, namentlich genau nach demselben Verfahren mit 

 Benützung der Brenn- und Hauptebenen wie der Knotenpunkte, welches aus der Theorie unendlich dünner, 

 einfallender Strahlcnbündel mit sehr kleinem Einfallswinkel bekannt ist. Da jedoch im gegenwärtigen Falle 

 die Beziehung zwischen den Punklreihen auf »S und S' mittelst der Punkte k und l in sehr einfacher Weise 

 gegeben ist, kann auch die folgende Construction angewendet werden. 



Um zum Objectpunkt h die Bildpunkte zu tiiulen, ziehe man durch h eine Parallele zu //, welche S 

 schneidet in a. Zieht mau durch a die Strahlen ak und al, welche auf <S' die beiden Bildpunkte a[ und a^ 

 bestimmen, so lege man durch diese Punkte Parallele zu 6a; dann ist der Schnitt von hk mit der Parallelen 

 aus «p der erste Bildpunkt b\ von b, der Schnittpunkt von by., Fig. 2, oder auch von b[m mit der Parallelen 

 durch a\ aber der zweite Bildpunkt b'^. 



Die Punkte b, b\, b.^ liegen in Wirklichkeit unendlich nahe an S und S'; allein wegen der Ähnlichkeit der 

 durch aa\ und a'^ gehenden parallelen ebenen Systeme wird das Verhäitniss der Längen ba, 6J«,' und b^a^ 

 zu einander dasselbe sein, wenn die obige Construction ausgeführt wird für irgend einen in ba gelegenen 

 Punkt, der von 6' eine endliche Entfernung besitzt. Hierdureli ist die rein constrnctive Lösung der verschiedenen 

 einschlägigen Probleme ermöglicht, so writ sich dieselben auf die Beziehungen zwischen Object- und Bild- 

 punkten erstrecken. Was jedoch die Abhängigkeit zwischen einfallenden und gebrochenen Strahlen anbe- 

 langt, so wird man sich zu erinnern haben, dass entsprechende Gerade in den früher genannten Räumen 

 N^, N[, A'j nur dann in der Beziehung von einfallenden und gebrochenen Strahlen stehen, wenn sie gelegen 

 sind entweder, bezüglich der Räume A^ und N^ in der Ebene SS', oder bezüglich der Räume A^ und N[ in 

 den zu SS' senkrechten Ebenen P und F'. Im Allgemeinen aber geht der zum Strahle bc gehörige gebrochene 

 Strahl wohl durch die Bildlinien von b und c, nicht aber durch ihre Bildpunkte. 



In den oben construirten Bildpnnkten b^ und b'^ können die Bildlinien leicht angegeben werden; die 

 erste Bildlinie liegt in der EbeiiB b[»d; die zweite stellt senkrecht zu ihr und beide stehen senkrecht aut dem 

 Strahle b'^m. 



