176 F. Lipiiich. 



Bemerkung über anderweitige ßeziebuiigen zwischen Object- und Bild räum. 



Eine collineare Beziehung zwischen Objectrauni und den zugehörigen Bildräumen würde auch dann 

 erhalten worden sein, wenn wir als Axeu der einfnllenden Siralilbündel jene Strahlen gewählt hätten, die 

 liiudurcbgehen durch den Punkt n auf 2, Fig. 2, so dass die Axen der gebrochenen Bündel alle hindureh- 

 gehen durch // auf 2'. Die Räume ]<! und ]<i\ würden alsdann wieder perspectivisch liegen, hätten das 

 Strahlenbündel durch /,,■ gemeinsam, ihre gemeinsame Ebene wäre aber jetzt die taiigirende Ebene an die 

 brechende Kugel in m. Die Beziehung der ebenen Systeme /' und P' bleibt dieselbe wie früher, was seinen 

 (irnnd darin hat, dass die ersten Biidliiiien die Ebene /' schneiden und diese Schnittpunkte, d. h. die ersten 

 Bildpunkte in /■' demnach auch auf den jetzt gewählten Axen liegen müssen. 



Weil nun die zweiten Bildlinien senkrecht stehen auf der Ebene ÄS", so erkennt man sofort, dass auch die 

 Beziehung der beiden in SS' gelegenen ebenen Systeme von iV und iV,' bei der gegenwärtigen Art, die Axen zu 

 wählen, dieselbe bleibt wie früher; entsprechende Pnnktreihen durch a und «.^, die parallel zu // liegen, sind 

 ähnlich und ihr Ahnlichkeitscentrum ist der Schnittpunkt ■/.. 



Ferner entspricht einer Ebene in A^, die parallel zu 7/ ist, eine ebenso gelegene Ebene in iV^, aber diese 

 ebenen Systeme sind nicht mehr ähnlich, sondern atfin. Man erkennt nämlich sofort, dass einer Pnnktreihe 

 durch a senkrecht zu SS' eine projeetivisch ähnliche ebenso gelegene durch «^ entspricht, das Ahnlichkeits- 

 centrum ist jedoch nicht in x., sondern in /, denn durch hn'n gehen alle Ebenen, welche die Axen der ein- 

 l'alleuden und gebrocheneu Bündel enthalten. 



Allgemeine Beziehung zwischen einfallendem und gebrochenem Strahl. 



Es ist wiederholt hervorgehoben worden, dass die aufgefundenen Beziehungen zwischen den Räumen 

 iV, -A^i' und iVj nur dann aus einem einfallenden Strahl den gebrochenen als entsprechenden zu construiren 

 gestatten, wenn der einfallende Strahl entweder gelegen ist in der Ebene /' (durch S senkrecht zu SS'') oder 

 in der Ebene SS'. Um die Aufgabe in dem allgemeinsten Falle zu lösen, verfahren wir wie folgt. Es sei A 

 irgend ein einfallender Strahl, der dem Strahle S unendlich nahe liegt; durch A und /.■ legen wir eine Ebene 

 L, welche 1' schneiden mag in der Geraden A^. Die ilir im Kaume iV, entsprechende Ebene L', geht ebenfalls 

 durch h und schneide 7' in der Geraden ^,', alsdann ist .•!', der zu /l, gehörige gebrochene Strahl und A'^ 

 schneidet .V im ersten Bildpunkte des Schnittpunktes A^S. Die Ebenen L und Z,' sind als normal zu den 

 Ebenen /'. r> spective 1' anzusehen. Da nun die zu den Punkten \on^ gehörigen ersten Bildiinien in der 

 Ebene L\ liegen, so liegt auch der zu A gehörige gebrocliene Strahl A in der Ebene L\. Legen wir ferner 

 durch ,1 eine Ebene M senkrecht zu E (oder SS''), so ist die ihr cntsi)rechen(le J/^' im Räume A'^ senk- 

 recht zu E (oder SS'\ und da M'^ die zu den Punkten von A gehörigen zweiten Bildlinien enthält, so liegt 

 aucli der zu .1 gehörige gebrochene Strahl in dieser Ebene. Sind A^ und A'^ die Schnitte von M und jlA] 

 beziehungsweise mit E und E', so sind A^ und .t^ entsprechende Strahlen und der Schnittpunkt A'^S' der 

 zweite Bildpunkt zu A^S. Man hat also folgenden Satz: 



(12). .. Projicirt man irgend einen einfallenden unendlich nahe au 6' verlaufenden Strahl A 

 auf die E benen 7' und iJ und sucht zu d en Projeetion en die beziehungswei sc in/" und 

 E' gelegenen Strahlen, so sind diese Strahlen die Projectionen des zu A gehörigen 

 g e b r o (• h e n e n S t r a h 1 e s. 



Brechung eines nicht h o m o c e n t r i s c h e n St r a h 1 c n b ü s c h e 1 s. 



Es soll numnehr die allgemeinere Aufgabe gelöst werden, zu einem einfallenden allgemeinen Strahlen- 

 bündel, gegeben durch seine Axe und die beiden l)renn- oder Bildlinien, das gebrochene zu bestimmen, 

 d. h. seine beiden Bildlinien anzugeben. 



Es sei in Fig. 6 5' die Axe des ciniallenden, S die Axe des gebrochenen Bündels, 77 die Schnittlinie der 

 Ebene 77 mit der Ebene <S'-S', Q der Schnitt der beiden Ebenen 7' und P'. Es seien ferner a und h die Schnitt- 

 punkte der beiden Bildlinien des ciniallenden Bündels mit der Axe. Nehmen wir aut der l'ildlinie duicli h 



