TJlicr BrechiDig un<l Tirflo'xinn unenrlli'-h flUnnT Hirdlilcnsynicme an Kugelß'dclun. 177 



iiiidtd oincii Punkt ,5 inid zielicii von ilim ans die Stralilcn iiacli den Punkten der anderen Hildlinie, so bilden 

 diese ein ebenes Straliienbiiseliel, das L heissen mag. Nach der Brechung geben diese Strahlen liindurch 

 durch die Bildiinien des gebrochenen Büscliels und zugleich durch den Schnitt der Ebene L mit der Tangeuten- 

 ebene an die Kugel in m. Da nun dieser Schnitt im Allgemeinen zu keiner der letztgenannten Bildiinien 

 parallel ist, so liegen die gebrocheneu Strahlen nicht mehr in einer Ebene, und es muss daher unter ihnen 

 zwei Strahlen geben, von denen der eine durch den einen, der andere durch den anderen Schnittpunkt der 

 Bildiinien des gebrochenen Bündels mit seiner Axe geht. Wenn wir demnach die Aufgabe lösen: unter allen 

 zum StrahlenbUscIiel in L gehörigen gebrochenen Strahlen jene beiden zu linden, welche die Axe S' schneiden, 

 so haben wir hiedurcli die Orte der beiden Bildiinien bestimmt. 



Nehmen wir irgend einen Strahl des Büschels L, welcher hindurchgehen mag durch den Punkt a der 

 Bildlinie in a. Diesen Strahl projiciren wir auf die Ebenen P und E nach ß'a' und ß'a", wobei a.' a." jS'jS" die 

 entsprechenden Projectionen der Punkte a. und /5 vorstellen. Suchen wir zum Schnittpunkte u von a'j5' mit 

 <S' den ersten Bildpuukt u[, zum Schnittpunkte v von «"ß" mit IS den zweiten v'^, so gehen nach (12) die 

 Projectionen des gebrochenen Strahles auf P' und B, beziehungsweise durch io[ und v'^, und der gebrochene 

 Strahl schneidet die Axe S' nur dann, wenn diese beiden Punkte zusammenfallen. 



Sucht man zu jedem Strahle von L die zugehörigen Punkte, wie u und v zu dem Strahle ß«, so wird die 

 Punktreihe ti projectivisch zur Pimktreihe v, und a h sind die Do])pelpunktc dieser in einander liegenden 

 Punktreihen, denn die Punktreihen «' und a" sind ähnlich und daher die Stralilbüschel aus j5' und ß" pro- 

 jectivisch. Nun hat man die Punktreihe u durch l-, die Punktieihe i^ durch l auf Ä' zu projiciren, um die jedem 

 Strahle von L entsprechenden Punkte u\ und v\ zu erhalten; diese Punktreihen sind demnach aucli pro- 

 jectivisch. Es werden also zweimal u\ und v'^ zusammenfallen in den Doiipelpuukten, und diese können aus 

 drei Paaren entsprechender Puidite tonstruirt werden. Da a und l> Doppelpunkte der Punktreihen u und v 

 sind, so hat man durch ihre Bildpunkte a[,a'^, h[,b'^ bereits zwei Paare entsprechender Punkte auf Ä' gegeben 

 und dann nur noch für einen Strahl des übrigens ganz beliebig anzunehmenden Büschels L, d. h. für einen 

 beliebigen Strahl des einfallenden Büschels die Punkte u und v zu suchen. Behufs Coustruction dieser Punkte 

 darf dieser Strahl unter einem endlichen Winkel gegen S geneigt angenommen werden. 



(13)... Um die Bildpunkte eines Strahlenljüschels, dessen Axe <S", zu bestimmen, das 

 durch Brechung eines beliebigen Strahlenbüschels, dessen Axe *S', entstanden ist, 

 suche man /.u den Bildpunkten a, b des einfallenden Bündels die ersten und zweiten 

 Bildpunkte a[, a^, b'^, b!,, ausserdem zum Schnittpunkte ?< der Projectiou eines belie- 

 bigen einfallenden Strahles auf P mit S den ersten IJildpunkt u^, zum Schnitt- 

 punkt w der Prujecti on desselben Strahles auf i' mit /t>' lien zweiten IJildp unk t ^>.^; dann 

 sind die gesushteu Bildjjunkte die Üopi)el p unkte der durch die Punktepaare a[ a'.^, 

 b[b^, u[v'^ bestimmten projectivischen l'unktreihen auf >S'. 



Da immer, wenn ?> zwischen aq liegt, u ausserhalb ab liegen muss und umgekehrt, wegen der zu ein- 

 ander senkrecliten Richtungen der Bildlinien, so ist ersichtlich, dass die Punktreihen a b u, a b v entgegen- 

 gesetzten Sinn haben, folglich auch die l'unktreihen a[b[u\, a'^b'.^v'.^. Die Dop[ieli>unkte sind daher immer 

 reell, wie es ja sein muss, weil die Strahlen des gebrochenen Büschels Normalen eines stetig gekrümmten 

 Fliichenstückes sind. 



Die Bcstinnnung der Punkte u\ und v'.^ kann man verschiedentlich vereinfachen, z. B. indem man den 

 Strahl ,5« so wählt, dass seine Projectiou auf E parallel zu S wird, dann ist v[^ der zweite Brennpunkt auf 

 S', und u liegt zwischen ab so, dass auxub gleich ist l:tng^i, wenn i den Winkel bedeutet, um welchen die 

 Bildlinie in a gegen die Ebene P geneigt ist. 



Es erübrigt noch, die Richtungen der Bildlinien in den Bildpunkten des gebrochenen Bündels anzugeben. 

 Sind in Fig. 7 uq und i-h die Projectionen eines unendlich nahe au (S' verlaufenden Strahles des einfallenden 

 Bündels, und qH'^, h'v'.^ die Projectionen des gebrochenen Strahles, so hat man nur in dem Bild|junkte A' die 



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