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Senkrechte n zu <S" v.u ziehen in den Ebenen 7" und E'. Schneidet die Senkrechte in der E'oene /" die Gerade 

 cju\ in dem Punkte •/', die Senkrechte in der Ebene E' die Gerade //«'j in dem Punkte 7", so ist -fa'-.'fa' die 

 Tangente des Neigungswinkels der Bildlinie in a gegen die Ebene 7"; die Richtung- der Bildlinie in B' ist 

 hieniit ebenfalls gegeben, da sie auf der Richtung der eben bestimmten Bildlinie senkrecht steht. 



Um die Bildlinien durch blosse Construction zu finden, ist es zweckmässig, für r'^ den zweiten Brenn- 

 punkt zu wählen, somit vh zu *S' parallel. Wir ziehen dann vh^ parallel zu S in einem beliebigen Ab- 

 stände von dieser Axe, so dass derselbe etwa das /j.-fache des Abstandes der Geraden vh von ß ist, und 

 suchen die Projection wy, jenes 'Strahles durch die Bildlinien in « und b auf die Ebene 7', dessen Projection 

 auf ^ eben vh^ ist. Zu u<|^ und vh^ construiren wir die gebrochenen Strahlen cj^u'^ und li\>\, ziehen in 

 A' die Gerade A' parallel zu H, so dass auf h\i\^ liegt und bestimmen auf der Verlängerung von a'7" 

 den Punkt 7',', wobei 07''^ parallel zu S' sein soll; die Verlängerung von a'7' sehneide 5,«,,' in 7J. Nun 

 ist, wie leicht ersichtlich, mg^ = ij..nit/ und daher auch ^'7,' = /jl ..i'y'; ferner ist mh^^ [x .mh luid 

 wegen der Ähnlichkeit der Punktreihen auf 77 auch mh^ = i3..mh', womit in Folge der Construction auch 

 A'/^= [j..A'-f'. Die Diagonale des über A' ^/^ und A' ■/[ constrnirten Rechteckes hat daher die Richtung der 

 Bildlinie in A'. 



Sehr einfach werden die Beziehungen, wenn die Bildlinien des einfallenden Bündels in den Ebenen T 

 und E liegen; alsdann sind in diesem einfallenden Bündel zwei ebene Büschel mit den Centras in b und a 

 enthalten, die in den Ebenen P und. ^ liegen und nach der Brechung zwei Büschel erzeugen, respective 

 gelegen in 1" und E'; es ergibt sich daher folgender Satz: 



(14)... Liegtim einfallenden Strahlenbündel die Bildiinie durch den Bildpunkt a in der 

 Ebene E, die durch den Bild punkt }> also in der Ebene P, so sind der erste Bild punkt 

 a\ von a und der zweite b^ von b die Bildpunkte des gebrochenen Bündels; die llildlinie 

 durch a[ liegt in E', die durch b'^ also in P'. 



Die Punkte a[ b[, a'^ b'^ sind demnach die Grenzlagen für die Bildpunkte des gebrochenen Bündels, 

 wenn man das einfallende um seine Axe 8 dreht, und zwar a[ b'^ für jene Stellung, bei welcher die Bild- 

 iinie durch ffl in E liegt, a^b[ für die darauf senkrechte Stellung. Hiebei wandern beim Drehen die Bild- 

 punkte aus der einen Grenzlage in die andere entweder innerhalb der Strecken a[ b\ und «.^ ij oder aber 

 ausserhalb; im letzteren Falle gehen sie durch den unendlich fernen Punkt. Um zu entscheiden, wann letz- 

 terer Fall eintreten könne, nehmen wir an, es liege der Bildpunkt A.' des gebrochenen Bündels im Unend- 

 lichen. Zieht man von diesem Punkte nach irgend einem Punkte der 15ildlinie in b' einen Strahl, so werden 

 dessen Projectionen auf die Ebenen P' und E' parallel zu S' \ der einfallende Strahl, durch dessen Brechung 

 der eben betrachtete entstanden, liefert denmach auf 7' und E projicirt Gerade, die beziehungsweise durch 

 den ersten und zweiten Brennpunkt von S hindurchgehen. Sollen nun diese Projectionen einem Strahl des 

 einfallenden Bündels mit den Bildpunkten ab angehören, so muss, wie schon früher bemerkt, ein Schnitt- 

 punkt der beiden Projectionen mit IS innerhalb, der andere ausserhalb ab liegen. Es kann also der angenom- 

 mene Fall nur eintreten, wenn einer der Brennpunkte innerhalb, der andere ausserhalb ab liegen. Die Lage 

 der Bildlinien in u und b lässt sich leicht bestimmen ; aus Fig. G folgt ganz allgemein, wenn i den Neigungs- 

 winkel der Bildlinie in a gegen die Ebene P bedeutet, dass bu.av : bi^.au = tang^«", und hieraus findet man 

 im gegenwärtigen Falle i, wenn man «« und v mit den Brennpunkten/, und/^ von »S' (siehe Fig. 4) zusammen- 

 fallen lässt. 



Es kann also bei gehöriger M''ahl bezüglich der Bildpunkte des einfallenden Bündels der merkwürdige 

 Fall eintreten, dass durch blosse Drehung desselben um seine Axe, die eine oiler die andere Bilillinie des 

 gebrochenen Bündels ins Unendliche rückt. 



Ist umgekehrt einer von den Bild])unkten des einfallenden Bündels unendlich weit, so liegt einer von 

 den Bildpiinkten des gebrochenen Bündels innerhalb der Brennpunkte /',',/j \{m IS', der andere ausserhalb. 



