über Breclmmj tmd li'eßixioit um ndlivh tJünner Striildvii.syfittnic an KageIßäcJien. 179 



Hrccliuiig an einer Ebene. 



Wird der Radius der breeiienden Kugel unendlich gross, so rückt mit k zuglcicii / ins Unendliche, und 

 somit auch die Brennebenen; die Eäuuie N^. A',', I\'^ werden affin zu einander. Die zu // parallelen entspre- 

 clienden Ebenen werden eongruent für die K'äume A^ und ]<l\, entsprecliende Punkte dieser Känme liegen auf 

 einer zur Einfallsnormaleu Parallelen. In den Räumen A' A' ^ und A^,' A'j bleiben hingegen entsprechende 

 parallele Ebenen ähnlich, mit den Ahnlichkeitspunkten in /. und m. Das Ähnlichkeitsverhältniss der in // 

 liegenden Systeme ist das gleiche wie im Falle eines endlichen Kugelradius, denn es ist unabhängig von 

 diesem Radius (siehe p. 12). l'ni zu irgend einem Punkte a auf <S' den zweiten Bildpnnkt a\ auf /S" angeben 

 zu können, muss man die Richtung von ml für den Fall eines unendlich grossen Kugelradius bestimmen, 

 denn dieser lüclitnng parallel wird die Linie aa\ verlaufen. 



Zu diesem Zwecke machen wir folgende Überlegung. Es werde in Fig. 3 aus einem beliebigen Punkte 

 Ä\| von ml' eine Parallele zu kn'71 gezogen und dann auf derselben der Punkt /„ durch dieselbe Construction 

 ndt Hiiie eines über mJc^ als Durchmesser geschlagenen Kreises bestinunt, durch welche l bestimmt wurde 

 vermittelst des Kreises C auf der Geraden kn'n. Aus der Ähnlichkeit der Figuren bezüglich des Centruuis 

 m folgt dann sofort, dass ml^l auf einer Geraden liegen und die Richtung von ml unabhängig ist vom Radius 

 mk. Somit kann auf die angegebene Weise die Richtung ml auch für den Fall als der Punkt l im Unendlichen 

 liegt, construirt werden. 



Auch der gebrochene Strahl <S" kann für den Fall einer Ebene auf ähnliche Weise construirt werden, wie 

 für den Fall einer Kugel, man hat sich nur der in II. angegebenen, allgemeineren Fassung des Satzes zu 

 bedienen, welche hingeführt hat zum Satze (1). Wir wollen aus diesen Bemerkungen ausdrücklicher den 

 folgenden Satz hervorheben: 



(15)... Die beiden Bildpunkte a\ a'.^ auf einem an einer Ebene gebrochenen Strahle *S", die 

 zu einem Punkte « des einfallenden Strahles gehören, liegen auf zwei durch letzteren 

 Punkt gezogenen Geraden, die parallel In ufen zu zwei festen Geraden, deren Richtung 

 nämlich unabhängig ist von de r Lage des Punktes a; und zwar ist a a\ parallel zur Ein- 

 fallsnormale, rt «2 aber parallel z ur Verbindungsli nie des Einfallspunktes m mit einem 

 Punkte l^, der bezüglich ein,es beliebigen Punktes k^ der Einfallsnormale ebenso 

 gefunden wird, wieder Punkt / bezüglich des Kngelmi ttclpunk tes k nach der in (7) 

 angegebenen Construction. 



II. Reflexion an einer Kngelfläclie. 



Übergang von der Brechung zur Reflexion. 



Hält man für einfallenden und rcflectirten Strahl dieselbe Art der Winkelzählung fest wie für einfallenden 

 und gebrochenen Strahl, so kann der reflectirte Strahl aufgefasst werden als ein gebrochener, für welchen 

 der Brechungswinkel gleich ist 180° weniger dem Einfallswinkel. Die Kugeln 2 und ^', somit auch die 

 Punkte n und n', sowie die Ebenen T und T (F g. 2) verlieren im gegenwärtigen Falle ihre Bedeutung; dess- 

 halb werden von den früher für den Fall der Brechung entwickelten Eigenschaften nur jene erhalten bleiben, 

 welche von diesen Elementen und ihrer speciellen Lage unabhängig sind. Hieher gehören vor Allem: die 

 coUinearen Beziehungen zwischen Objectraum A'' und seinen Bildräumen A^ A^^; die perspectivische Lage der 

 Räume A'' und N\ mit dem Collineationscentrum in k und die gleiche Lage der Räume N\ und A^^ '"'^ ^^^ 

 Centrum in m. Aber die Bestimmung der Lage der Brennebenen, die früher mit Hilfe der Ebenen T und T' 

 möglich wurde, bedarf nunmehr speciellerer Betrachtungen. 



Beziehung zwischen Objectraum und Bild räum. 



Construiren wir zuerst für die beiden persi)ectivischen Bäume A'^und A^| die Brennebenen. Ein Pankt /", 

 der Brennebene des Raumes A'j wird erhalten als Schnitt der aus /.■, Fig. 8, zu <S' gezogenen Perallclen mit Ä'; 



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