180 • F. Lippich. 



(l;i das Dreieck kf\ni gleichsclienklif^ ist für irgend einen in m einfallenden Stinlil nnd dem /Jig,eliörii;en 

 rcflectirten, so liegen alle Hrenn]iiinktc auf einer zum Kinfallsradius Lnn senkrechten, diesen liaJljirendeii 

 Ebene und in dieselbe Ebene fällt auch die Brennebene F^ des Raumes N. Die beiden Eäume A' und N[ liegen 

 demnach involutoriscli; irgend einem Elemente entspricht immer dasselbe gleichartige, mag eisteres als dem 

 Eaurae iVoder dem Räume A", angehörig betrachtet werden. Namentlich liegen auch die Punktreihen auf wi/i,- 

 involutorisch, y,©', ist der Mittelpunkt m und /c sind die Doppelpunkte. Durch diese gehen die Doppelelienen 

 hindurch senkrecht zu ml-. Nun gibt es im perspectivischen collinearen Räume immer zwei Paare entspre- 

 chender ebener Systeme, die den zugehörigen Brennebenen parallel liegen und congruent sind, in dem einen 

 Paar sind entsprechende Punktreihen gleichlaufend, in dem anderen Paare von entgegengesetztem Sinne; 

 und in dem einen wie in dem anderen Räume liegen die beiden Ebenen zu beiden Seiten der zugehörigen 

 Brennebenen in gleichem Abstände. Da nun in k zwei ebene Systeme zusannnenfaJlen, für welche ent- 

 sprechende Punkte symmetrisch liegen bezüglich l; wie aus der Lage der Schnittpunkte dieser Ebenen mit 

 einem einfallenden Strahle S und dem ihm entsprechenden reflectirten S' hervorgeht, die entsprechenden 

 Punktreihen demnach congruent sind aber von entgegengesetztem Sinne, so müssen in vi zwei congruente 

 Systeme, zusammenfallen, die sich decken, wie dies übrigens direct aus der })erspectivischen Lage folgt. 



Man bemerkt, dass die erste Brennebene für ein beliebiges Stralilenbündel zusammeniällt mit der Brenn- 

 ebene eines normal einfallenden. 



Schlagen wir um ml- als Durchmesser einen Kreis, der vom einfallenden Strahle geschnitten wird in h, 

 vom reflectirten in S^. Wie im Falle der Brechung, bemerkt man auch hier, dass alle unendlich nahe an S in 

 der Ebene SS' einfallenden Strahlen, die hindurchgehen durch b, nach der Reflexion hindurchgehen durch b\. 

 Es ist demnach h\ der zweite Bildpunkt von b, nnd auf der Verbindungslinie bb'.^ liegt der perspectivische 

 Mittelpunkt / der Punktreihe auf 6' und der ihr entsprechenden Reihe der zweiten Bildpunkte auf .S'. Sind nun 

 a und «2 zwei entsprechende Punkte und sucht man zu diesen die bezüglich km symmetrisch gelegenen Punkte 

 c' auf *S" und c^ auf <S', so ist aus Gründen der Symmetrie offenbar c' der zweite Bildpunkt von c^; aber die 

 gegen mk symmetrisch gelegenen Verbindungslinien « n j und c' c^ müssen durch /gehen, daher muss l auf 

 hm selbst liegen, ist also der Schnitt von bb' mit km. 



Um die zweite Brennebene F^ zu finden, genügt es, ihren Durchschnitt mit der Ebene SS' anzugeben, 

 auf welcher Ebene sie senkrecht steht. Einen Punkt dieser Schnittlinie F'.^ (Fig. 8) erhält man sofort, indem 

 man ans / eine Parallele zu ^S' zieht und ihren Durchschnitt/^ mit S' sucht; dieser Punkt ist der Halbirungs- 

 punkt von mb\. Weitere Punkte von F'^ werden demnach erhalten als die Halbirnngspunktc jener SelimMi des 

 Kreises C, welche den anderweitigen inm reflectirten Strahlen entsprechen. Da diese Strahlen unendlich nahe 

 an S' verlaufen, können ihre Schnitt])unkte mit G unter Vernachlässigung unendlich kleiner Grössen zweiter 

 Ordnung auf der Kreistangente in &j liegend angenommen werden; daher ist die gesuchte Gerade F^ parallel 

 zu dieser Tangente wnA ihre Neigung gegen den reflectirten Strahl beträgt somit einen Rechten weniger dem 

 Einlallswinkel. F^ liegt natürlich symmetrisch zu F'^ bezüglich der Einfallsnormalen. 



Nehmen wir ferner ein beliebiges einfallendes Stralilenbündel, dessen Centrum m ist und das entspre- 

 chende reflectirte, und drehen alsdann den Raum N'^ um die Einfallsnormale um 180°, so wird jeder der in 

 m. reflectirten Strahlen mit dem ihm entsprechenden einfallenden sich decken. In dieser Lage haben also die 

 Räume N und iV^ das durch vi gehende Strahlenbündel entsprechend gemein, sie liegen perspectivisch zu 

 einander nnd zugleich bemerkt man, dass die Brennebenen zusannnenfalleu. Daher liegen die beiden Räume 

 wieder involutoriseh; die eine Doppelebcne IJ^ gebt durch m parallel zu F.,, die andere i.st die Tangentenebene 

 T in b, und die in dieser l-'.bene zusammenfallenden ebenen Systeme T und T\ sind congruent und derken 

 sich; zwei entsprechende ebene Systeme, von denen das eine parallel zu F^, das andere parallel zu F.^ ist, sind 

 ähnlich und die in H^ zusammenfallenden Ebenen 11^ und Hl, durch m und parallel zu F, und F'^ sind eben- 

 falls congruente Systeme, in welchen aber entsprechende Punkte symmetrisch liegen bezüglich m. Es ergibt 

 sich dies sofort, wenn man bemerkt, dass der Punkt n, in welchem T von der auf F^ senkrechten Axe X^ 

 geschnitten wird, hier dieselbe Rolle spielt, wie der Punkt m liiiher bezüglich der Kiiunie A' und A'J. 



