über Brechung uiul lieficxion ttnoidUck dünner Straldentiy.'iti/me a)i Kugflßächen. l^^l 



Die Riiiinie iV| und iVj lieg'cii persiicctiviseh iiiül ihr perspectiAisclier Mitlelpiiiikt ist m; denn ein erster 

 uiul zwoilur Bildjnmkt, die zu demselben Objoetiiuuktc geboren, liegen auf einem diireli m gehenden Sti'alüe. 

 Die beiden Reihen der ersten und zweiten ßildpnnkte auf 6" haben nur einen Doi)pelpnidct, in m gelegen. 

 Gleichweit von diesen entfernt zu beiden .Seiten desselben müssen die Gegen- (idcr Fluchtpunkte fj und f^ 

 liegen; man findet sie als die Schnitte der Verbindungslinien k f], und /' / mit S'. Durch diese Punkte gehen 

 die Gegenebenen der Räume N\ und N'^, deren Lage noch näher i>estinnni werden soll. Zu diesem Zwecke 

 bemerken wir, dass bezüglich der beiden in die Tangentenebene durch jn fallenden Systeme 77, und li[ da 

 sie sich decken, die unendlich ferne Gerade von H^ zusammenfällt mit der unendlich fernen Geraden von 7/,; 

 suchen wir nun zur unendlich fernen Geraden von 77, angehörig dem Räume N die entsprechende Gerade im 

 Räume N'^, so muss dieselbe liegen in der Brennebene F'^ dieses Raumes, aber auch in der Ebene 77,, weil 

 jedem Objectpunkte in 77, ein zweiter Bildpunkt entspricht, der wieder in H^ liegt. Die gesuchte Gerade ist 

 somit der Schnitt r der Ebenen F'^ und 77, ; da aber diese Gerade gleichzeitig das zweite Bild ist dessen zu- 

 gehöriges erstes Bild im Uncndlcben liegt, so ist sie eine Gerade der Gegenebene von N'^ und diese sonach 

 bestimmt durch den Punkt f^ und die Gerade v. Die Gegenebene von N\ ist ebenso bestimmt durch f| und 

 die Schnittlinie u der Ebenen F^ und 77,; die Gegenebenen sind also zu einander parallel vvie es sein muss 

 wegen der perspectivischen Lage von N\ und N\. In einer durch m j)arallel zu den Gegenebeneii gelegten 

 Ebene fallen erste und zweite Bddpunkte zusammen. Die zu irgend einer geraden Punktreihe in N gehörigen 

 ersten und zweiten Bilder sind im Allgenic'nen nicht i)arallel zu einander, sie werden es aber, wenn eines 

 der Bilder parallel liegt zur Gegenebene von iV^ oder A",, denn alsdann muss das andere Bild in der That 

 dem ersten parallel sein, wegen der Ähnlichkeit entsprechender ebener Systeme, die den Gegenebenen 

 parallel liegen. 



Wir können die gefundenen Raumbeziehnngen in folgendem Satze aussprechen: 

 (16)... Im Falle derReflexion liegen dieRäume AMind A"j perspectiv isc h i nvolutorisch, 

 ihr Centrum ist der Mittelpunkt k der reflectirenden Kugel, die In volution s ebene 

 die Tangentenebene an die Kugelfläche im Einfalls punkte »«; die beiden Brenn- 

 ebenen 7^, und 7^', halbiren also den Einfallsradius und stehen auf diesem senkrecht. 

 Die Räume A'und A'^ liegen nicht perspccti visch ; dreht man jedoch den einen Räum 

 um die Einfallsnormale um 180°, so werden sie in persijectivisch invohitorische Lage 

 .gebracht. In dieser Lage ist dann der Einfallspunkt m das Involutionscentrum und 

 d ie Involutionsebene steht senkreeiit auf der Ebene SS' des einfallenden und reflcc- 

 tirten Strahles und tangirt den um den Einfallsradius als Durchmesser beschrie- 

 benen Kreis C im Schnittpunkte mit den nach der Drehung zusammenfallenden 

 Strahlen SS'. Die in dieser Lage zusammenfallenden Brennebenen l\ und 7^^ b'il- 

 biren somit den Abstand des Punktes vi von der Involutionsebene und sind letzte- 

 rer parallel. DieRäume A'j und A'^ liegen wieder perspectivisch, das Centrum liegt 

 in m, durch diesen Punkt geht auch die Ebene, in welcher zwei entsprechende 

 Systeme übereinander fallen, parallel zu den gleich weit abstehenden Gegenebe nen, 

 und letztere gehen durch die Gegenpunkte auf S' und durch die Schnittlinien der 

 Brennebenen 7^^ und F'^ mit der T a n g e n t e n e b e n e in m. 

 In Figur S sind die verschiedenen Punkte und Ebenen in Übereinstimmung mit den für die Brechung 

 giltigen Figuren 4 und 5 eingetragen und bezeichnet worden. 



III. Einige metrisclie Relationen. 



In den folgenden Formeln soll der Einfallswinkel des Strahles S mit £, der Brechungswinkel von S' mit 

 s' bezeichnet werden. Wir machen ferner Gebrauch von jener Definition der Brennweiten , wie sie für ein 

 centrirtes Linsensysteni und ein auf dasselbe axial autiallendes Strahlenbündel gebräuchlich ist, verstehen 

 also unter Brenn weite eines Raumes die Entfernung seiner Brennebene von seiner Hauptebene und zwar 



