Ül'cr Jh-cchniig imd Biflcxinn ((lU'ndlivh dihuter StrahlfU^ijtilemc an Kugvlflächcii. 185 



\\()i-in 'im y, der Wertli aus V /.n siilistituircn konmd. In (Ut Tliat tin(U't man auch durcli dirccte IJcrcclinitn.ij 

 dieselben Wertlic für diese Ent1'evnuni;on. 



Die Gegcnchenen gelien durcli f,^ und fj, sowie dureli die aut BS' senkreeliten Geraden u und v liindurch. 

 Nennt man r, den Winkel dieser Ebenen mit der Einfalisuormalen, so ergibt sich mit Berücksichtigung der 

 Beziehung-eu 



'ö^ 



mu=-—. , •/.= 



2 sin: 



aus der Bctraciitiing des Dreieckes \\inu für diesen Winkel 



h 



sin' £ 



1 



'2 

 und hiemit ferner 



tng^' = o ^^S^, 



■/=-■/. -^ 



cotg^ £ 



2 sinEiAl-t-Scos^e 



Relationen zwischen entsprechenden Punkten und Geraden. 



Nachdem im Vorhergehenden die fraglichen Raunil)eziehungen durch Angabe der Brenn- und Haupt- 

 ebenen, sowie der zu ihnen senkrechten Axen vollkommen bestimmt sind, können sofort die aus der colli- 

 nearen Verwandtschaft fliessenden metrischen Relationen auf sie angewendet werden. Hiebei sollen die 

 Formeln in möglichstem Anschluss an die Theorie axialer Strahlenbündel eines centrirten Systemes ausgewählt 

 werden. 



Es seien irgend zwei collineare Räume gegeben, von denen wir aber conform mit den aufgefundenen 

 Beziehungen voraussetzen, dass je zwei entsprechende ebene Systeme, die den respectiven Brennebenen 

 l)arallel liegen, ähnlich sind. Die Brennebenen seien mit F und F, die Hauptebenen mit II und H', die 

 Brennweiten mit p und p' bezeichnet. Ferner mögen die zu /' und F' senkrechten entsprechenden Geraden 

 oder die Axen der Räume A' und A'' ihre Schnitte mit den Haupt- und Brennebenen |j., jx', n, n' heissen, so 



dass also 



(A7i = p, IJ.'t:' = p' 



ist. Bestimmen wir auf den Axen zwei Punkte ■/., x' so, dass 



XK ^ n' ix' , -/i' Tt' = TT |X 



ist, wobei die Richtungen kix, p.' rJ als die positiven Richtungen der Axen genommen werden, so erhalten 

 wir die Listing'schen Knotenpunkte, welche Mittelpunkte congruenter Strahlenbündel sind, und zwar fallen 

 diese Bündel zusammen, wenn man die Räume so über einander legt, dass die Hauptebenen und die positiven 

 Axenriciitungen sich decken. Auch die Töpler'schen Hauptebenen und Knotenpunkte können für die all- 

 gemeine Lage der Räume sofort bestimmt werden. 



Ferner seien U und U irgend zwei entsprechende Gerade, ihre Haupt- und Brennpunkte, d. h. die 

 Schnitte mit den zugehörigen Haupt- und Brennebenen h,f\ J>',f", ihre Brennweiten p„ und pj,. Für irgend 

 zwei entsprechende Punktepaare «, 5, «', h', hat man dann bekanntlich 



ah a' b' ' 



ab aj bf 



Wir legen durch einen Punkt a auf Z7eine Ebene A parallel zur Brennebene F, die entsprechende Ebene 

 A durcli a ist dann parallel zur Brennebene F'\ Ä und A' mögen die zugehörigen Axen A' und A'' schneiden 

 in den Punkten a^ und a'^. Vermöge der dritten der Gleichungen 12 hat man 



l)tMiksihrifieii der niaihtm--n;Uurw - C'l. WXVIII. Bd. .^.bliaiidl. vöu Nichtmitgliederu. y 



