1S8 R Lij-ijf'ck 



wie aus den flleicluingen 4 und 6 und Benützung der dritten der Gieicliungen 12 sich ergibt, und dieser 

 Wertli von a : «j, sowie der ihm analoge von a : «J hätte sich leicht direct ableiten lassen mit Hilfe der 

 Ähnlicbkeitscentra y. und k der ebenen Systeme, um die es sich hier handelt. 



Die Gleichungen 15 und IG auf die ebenen Systeme 1' und i" angewendet, liefern, wenn z. B. diese 

 Ebenen als den Räumen N und A^J angehörig betrachtet werden, 



tnga yj a[f\ v''a'' 



7t 



denn in diesen Ebenen ist A=^a.' =- zu setzen; ebenso wird die zweite der Gleichungen 17 

 17'... v.a5tngo.tngJ = ^Z a' b\ii\g a[iiAgb[. 



Für die ebenen Systeme E und E' hingegen wäre zu setzen 



K TZ 



und die Gleichungen IT), 16 und 17 vereinfachen sich nur für den Fall, als die Winkel n, «j, n^. . . unendlich 

 klein werden, denn in diesem Falle kann man setzen 



rr, tnga 



''Tnga=-^. 

 sma 



Speciell für die Räume A'^ und N'.^ ergeben sicii cutsprechend den El)enen £■ und E die Relationen aus 

 15 und 16 



tngwj a/g y,cos£COS£' vcoss' « _ 



tng« j)icos£COS£' a^/'g v'coss*«'' 



und aus der zweiten Gleichung 17 



17"... v.ab. tng a tng i = v' . a' b' . tng oj tng b'^. 



Man kann also für die Ebenen EE' angehörig den Räumen A^ und N'.^ dieselbe Relation aufstellen, wie 

 für die Ebenen Fl", angehörig den Räumen A' und A'J, allein während 17' ganz allgemein gilt, ist 17" nur 

 für unendlich kleine Neigungswinkel richtig. 



Für irgend zwei entsprechende ebene Systeme kann man ganz in derselben Weise wie im Räume ent- 

 sprechende Punkte angeben, welche die Eigenschaft der Knotenpunkte besitzen, d. h. Mittelpunkte entspre- 

 chender congruenter ebener Strahlenbüschel sind ; sie liegen natürlich auf den zu den Hauptlinien der Systeme 

 senkrechten entsprechenden Geraden und in dem einen Systeme von seinem Brennpunkte um die Brennweite 

 des anderen Systemes entfernt. So liegen z. B. für die Ebenen 1' und F diese Knotenpunkte auf den Strahlen- 

 axen S und S', für die Ebenen E und E' fallen sie zusammen mit den Knotenpunkten der Räume selbst. 



Legen wir durch zwei entsprechende Gerade U, U' zwei entsprechende Ebenen L, L und nehmen zwei 

 Punkte c, c' auf ü, U', für welche bezüglich der in L, L' verlaufenden Stralilen 



'Tngc= + <'Tngc', 



so sind c, c' entsprechende Punkte, die vermöge 15 von den Brcnnpuidvten die Entfernungen haben 



c/=±P'u, C'f = ±p„. 



Die Lage dieser Punkte also gegen die Brennpunkte der Strahlen ist durch dasselbe Gesetz bestimmt, 

 wie die Lage der Knotenpunkte räumlicher oder ebener Systeme, allein sie sind niclit mehr Mittelpunkte con- 

 gruenter Strahlenljüschel. 



Erfüllt mau in 15 die Relation 



tng c = + tng c' 



