Ein Dctvriiinia)itct}üatt und .'icine Umkehrung. 217 



Was nun, indem ich auf den allgemeinen Fall übergehe, zunächst den Grad der Determinante betrifft, 

 so ist 111 = 2", wobei w eine beliebige ganze Zahl bedeutet und um den Bau derselben zu übersehen, bemerke 

 ich, dass nur 2" Buchstaben als Elemente auftreten, also wenn w, irgend ein Element ist, i von 1 bis 2" yariirt. 

 Das Bildungsgesetz der Determinante selbst ergibt sich mit voller Klarheit daraus, dass jede vom Grade 

 7)1 = 2" in viere vom Grade m' :=2"-' dadurch zerfällt, dass man nach der 2"— 'ten Zeile und Colonne einen 

 horizontalen, respective verticalen Strich zieht. Diese vier Unterdetcrminanten, die ich bezüglich ihrer Lage 

 in nachstehender Weise bezeichne: 



I. II. 



V)... 



III. IV. 



werden immer nur aus der halben Zahl von Elementen gebildet, und zwar finden sich in I. und IV. nur die 

 Elemente: a , a . . .«„_( und in II. und III. diejenigen von: «„_i. . .a„; man bemerkt also eine gewisse Sym- 



1 2 2 2-1-1 2 



metrie bezüglich der Diagonale, welche von fundamentaler Bedeutung wird, und die sich noch weiter verfolgen 

 Lässt; dafür spricht der Umstand, dass z. B. I. wieder in vier Unterdeterminanten vom Grade 2"-' zer- 

 schnitten werden kann: 1, 2, 3, 4, wo also 1 und 4 die Elemente « , a ,. . .«„_2 etc. enthalten und hieraus 



1 2 2 



ergibt sich durch weiteres Verfolgen dieses Algorithmus ein Verfahren, durch aufsteigende Bildung Determi- 

 nanten von immer höherem Grade zu bilden, sowie das Gesetz: Jede Zeile und Colonne enthält 

 jedes der 2"-Elemente, und zwar immer nur einmal. Damit dürfte das Bilduugsgesetz in die kür- 

 zeste Fassung gebracht sein. Um auf die Bildung der Factoren überzugehen — die Anzahl derselben kommt 



1=2 



dem Grade der Determinante gleich — so zeigt sich zunächst ein Factor mit lauter positiven Gliedern =Y'«,, 



der durch Addition sämmtlicher Colonnen zur ersten unter Beachtung des obigen Symmetriegesetzes offenbar 

 erhalten wird, also z. B. in IV. der Factor 



a -+- 5 H- c-H c?-)- e-t-y-t-r/T-t- /^ -H ^'-l-_y'^- /t -H /-(-)« -I- « -f- o -)-^; , 



und die übrigen Factoren enthalten jeder gleich viele positive und negative Glieder, so z. B. kommt in IV. auch 

 folgender vor: 



a-Y-h-^-c-\-d-\-e-{~f-^g-\-h — i — j — h — l — in — n — o — i», 

 und im allgemeinen Falle: 



H — 1 n 



■■=2 i=2 



«i 



1=1 «—1 



A=2-l 



Der erste Factor, dessen Existenz nachgewiesen ist, kann auch in der Form geschrieben werden: 



A=2+l 



n — 1 n 



i=i A=2 



aj... ya, = y«l•-^- Va^ 



'=1 "—1 



i=24 



Vergleicht man dann Aj mit aJ, so erkennt man, dass ÄJ aus aJ erhalten wird, indem man sämmtliche 

 Glieder nach dem 2"-'ten in aJ negativ nimmt; ich will diesen Process zur Abkürzung eine „Knickung an 

 der Stelle 2"-!" heissen. Solche Knickuugsstellen gibt es nämlicli, wie sich gleich ergeben wird, im 

 Ganzen n, und zwar haben dieselben, respective die Indices: 



2», 2', 2», 2*... 2»-' 



Wir können die Bedeutung einer Knickungsstelle auch so ausdrücken, z. B. bei der 2"-*ten: 

 Ist bei der Determinante von bezeichnetem Baue und Grade = 2" ein Factor 



M).. (« ±« ±- • -±««-0 -+- (,±«ii-l±««-l±- • •±"n) 



^ 12 2 2-1-1 :-\--t 2 



Dcrnkschrlfteu dor m.'\them.-iiaturw. Cl. XXXVIII. IJd. Abhaudl. vuu NichtmilgUedera. CC 



