218 Anton Puchta. 



nacligewieseu, so besitzt sie auch {ülgcudeu, der durch eine Knickung au der Stelle 1'"^' entsteht: 



AT) (n ±ß zt- • -±«„-1) — (ion-irbfn-ii- • -iff«) 



'■•■ i ä 2 ■ 2+1 2+3 2 • 



Die Richtigkeit dieser Behauptung resultirt durch folgende Überlegung. Der Factor ilf entsteht nach der 

 Voraussetzung durch Addition, respective Subtraction sämmtlieher Coionnen zur ersten; wodurch er dann nnt 

 dem Zeichen Plus oder Minus in der ersten Colonne auftritt; wiederholt man Jedoch dieselben Additionen, 

 respective Subtractionen sämmtlieher Coionnen zur ersten, nachdem zuvor die zweiten Hälften der Zeilen 

 und Coionnen, d. h. jede Zeile, respective Colonne der zweiten Hälfte der Determinante mit — 1 multiplicirt 

 vpurden, so bleibt die Determinante selbst ungeändert und es resultirt statt Mj wegen der auf Seite 3 unter 

 V. bemerkten Symmetrie der Factor NJ, womit die Kichtigkcit der Behauptung zu Tage tritt. 



Genau in derselben Weise gestaltet sich der Beweis für die übrigen Knickungsstellen. Ehe ich jedoch 

 hierauf weiter eingehe, will ich bemerken, dass der Schlnss für die Existenz der 2"-Factoren ans der Evidenz 

 des Factors a) unter Benützung der «-Knickungsstellen ohne Weiteres sich ergibt, so dass also für das Folgende 

 die Behauptung bezüglich der übrigen Knickungsstellen allein noch zu bewahrheiten erübrigt. 



Zunächst wollen wir jedoch bemerken, dass maj, respective in Ä), die sämmtlichen Glieder a, und a„_t, wo 



•i+i 

 l eine der ganzen Zahlen von 1 bis 2"-' bedeutet, durchwegs dasselbe Zeichen in a), und durchwegs ent- 

 gegengesetzte in A} haben, so dass also in a) sämmtliche Glieder positiv, in A) die Hälfte positiv und die 

 andere negativ ist, eine Eigenschaft, die sich aus dem Einflüsse der Knickungsstellen leicht für alle übrigen 

 Factoren ergibt, so dass ich auf den Nachweis dieser Zeichenregel nicht weiter eingehen zu müssen glaube. 



Fassen wir das Frühere nochmals kurz zusammen, so können wir also sagen, dass in Folge der Knickungs- 

 stelle 2"—' der Factor AJ sich dadurch aus aj ergab, dass wir die Coionnen, deren Index um 2"-' absteht, 

 entsprechend der 2"-'ten Knickungsstelle, in a) zur ersten addirten, dagegen in A) sämmtlich von der 

 Summe aller übrigen subtrahirten. Allein aJ, respective Aj, lassen sich auch so schreiben: 



aj... y f •• -H y «ft -(- y «i H- y «i = y «, -i- y «* -+- y 



AJ... 



und hieraus durch Knickung an der Stelle 2"--, d. h. nach der Colonne 2"--, also der (w— l)ten Knickungs- 

 stelle, resultiren folgende Factoren der Determinante : 



hJ... ^a,_ 



2 . 1 



BJ... 2; »,-2 



wobei sich also B) aus hJ ebenso ergibt, wie A) aus a), wesshalh ich mich für den Nachweis der Existenz 

 der beiden Factoren bj und Bj auf bj allein bescliränke. Dieser Nachweis ergibt sich jedoch durch die ein- 

 fache Überlegung, dass man den Factor b) unter Beachtung der SjMnmetrie der Determinante, wie sie unter 

 V. bemerkt wurde, durch dasselbe ^'erfallren, nämlich Addition sämmtlieher Coionnen zur ersten, erhält, wie 

 aJ, nachdem zuvor das zweite und vierte Viertel sämmtlieher Zeilen und Coionnen mit der negativen Einheit 

 multiplicirt wurden , wodurch also die Determinante selbst ungeändert bleibt. Ganz eutsproclicnd bewahr- 



