Ein Determinantensatz und seine Umkehrung. 219 



heitet man die Eigenschaft der ührifrcn Knickungsstellen, worauf ich jedoch nicht weiter eingehen zu sollen 

 glaube. Wir haben nach folgenden Colonnen Kuickungsstellen: 2"-', 2"-=, 2"-^...2i, 2", also im Ganzen 

 n und da jede die Zahl der aus a) nach einander gebildeten Factoren verdoppelt, so erhalten wir aus aj im 

 Ganzen 2"-ractoren, deren Bildung auch unabhängig von einander sich kurz so aussprechen lässt, wenn man 

 berücksichtigt, dass die Eigenscliaft einer Knickungsstelle auf so viele nachfolgende Elemente sich erstreckt, 

 als der Index der Stelle, d. h. der Colonne, nach welcher sie statttindct, angibt, so urafasst also z. B. die 

 Knickung nach der Colonne 2'—' die ganze zweite Hälfte der Elemente, dagegen die nach der ersten Colonne 

 nur das Element «j, etc. : „Man schreibe sämnitliche Elemente, die in der Determinante auf- 

 treten, nach ihrem Index geordnet hin, also von «, , a^,... bis n, und knicke an einer 



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oder mehreren Stellen, respective auch au keiner, dann verbinde man alle Elemente 

 vor einer Knickung durch das Zeichen Plus, dagegen so viele Elemente nach einer 

 Knickung durch das Zeichen Minus, als der Index der Stelle angibt und beachte, dass 

 wenn an einer nachfolgenden Knickungsstelle nicht geknic kt wird, von ihr bis zur näch- 

 sten sich die Vorzeichen aller vorangehenden Elemente wiederholen, dagegen säramt- 

 lich in die entgegengesetzten übergehen, falls geknickt wird.-' 



Die Richtigkeit hievon ergibt sich unmittelbar aus dem Gesagten, kann jedoch aus der Beachtung der 

 Symmetrie unter V., indem man von einer Determinante des Grades 2"-' zu einer vom Grade 2" aufsteigt, 

 leicht direct erkannt werden. 



Ich will das Gesagte an einem Beispiele erläutern und wähle hiezu einen Factor aus einer Determinante 

 vom Grade 2'' = 32 und bezeichne die Stellen, wo geknickt wurde durch ein Sternchen, diejenigen, wo die- 

 selbe unterblieb, durch eine darübergesetzte Null und finde auf diese Weise z. B. folgenden Factor: 

 o,* — ^^*— 03-4-04°+«-— a|.---a.H-ag°-i-«g— rt,^—a, ,-)-«, j-l-aj3----aj^—CT,.-f-rt,/—a,7-(-rt,8-l-a,j- Ozu^^zi"*""«« 



-KO23- "24— «2,-.-t-<'26-'-«2-— ^28 — «!9-*-«30-'-«3| — ''.•«• 



Weitere Beispiele bieten die Gleichungen I. bis IV. Als Nachtrag will ich nun noch die Determinante 

 unter IV. in ein Product entwickeln, wobei ich die Factoren inuner durch Übergang von nachfolgenden 

 Knickungsstellcn zu vorausgehenden bilde; auf diese Weise wird 

 VI. n (a±b±cztdzte±f±gith±t±j±^±i±'"i±"±o:±p) — 



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{a-\-b-^-c-^-d-^-e-^f-^-ff-^h-i-i-^-j~hk-\-I-^m-^-■>l-ho-^-}>) 

 [a-i-b-i-c-i-d-\-e-i-f-i-g-i-/t — i^—k—l — m — w — o — p) 

 (a-i-b-hc-i-d — e—f- (/—/t-i-i-^;-\-k-^-l — 7n—?i — o—p) 

 {a-i-b-hc-hd—e—/—ff—/i — i—J—/i—l-^-m-\-n-\-o-h2>) 

 (a-\~b — c—d-\-e-\-f—(/ — /i-i-i-hj — ^ — t-\-m-^n — — p) 

 (a-^b — c — d-\-e-\-f — g— h — i—j^c-k-l — wi — ?iH-o-+-jö) 

 {a-^b — c — d- e -f-\-g-i-h-\-i-^j — li — l—m — n-\-o-\-p) 

 (a-t-b — c— d — e—f-\-g-^h — i—j-hk-h-l-\-m-^?i — o —p) 

 {^a—b-i-c—d-^e—f-\-g—fi-i-i—j-hk—l-i-m — n-ho—j>) 

 (a—b-\-c — d^^e—f-^g — h — i'-+-J—k-\-/ -~vi-{-n — o-\-p) 

 {a—b-hc — d~e-{-f—g-hh-hi—J-^-k — /— 7)1-^71— 0-^-2^) 

 (a—b-¥-c — d—e-\-f—g-i-b — i-+-J—k-i-l-hm — 9i-\-o—2'i) 

 (^a — b — c-i-d-he—f — g-\-Jt-\-i^ — k-^l-hiti— n — o-+-^j) 

 [a — b — c->nd-{-e—f—g-\-h — i-hj-hk—l — m-t-w-t-o— p) 

 (a — b — c-hd—e-+-f-i-g — k-hi'—j — ^-1-/ — in-^-n-ho — p) 

 (a — b — c-4-fif — e-^f-^g — h — i-hj-i-k — /h-»( — « — o-^P)- 



Bevor ich weitergehe, will ich l)enierken, dass die gewöhnliche Theorie der Determinanten, indem sie 

 ein Element mit 0,4 bezeichnet, ein zweilach ausgedehntes Gebiet entsprechend den zwei Indices benutzt, 



