220 



Anion P?icJita. 



eine Vorstellung, die sich bekniintlicli durch Benützung eines Gebietes von beliebig vielen Dimensionen, etwa 

 in Analogie zu gewissen l!ie nianu'schen Vorstellungen erweitern lässt und diese Verallgemeinerung z. B. 

 für ein Gebiet von drei Dimensionen gestattet auch eine Verallgemeinerung des obigen Satzes, indem dort 

 eine gewisse Symmetrie durch drei Schnittebenen sich einstellt u. s. w. und der angeführte Satz dahin gene- 

 ralisirt wird, dass eine Determinante von gewissem Bau in einem Gebiete von drei Dimensionen gleich wird 

 einer Summe von Productcn, welche den obigen analog sind. Doch hierauf mag nicht weiter eingegangen 

 werden. Kine verwandte Eigenschaft soll dagegen hervorgehoben werden, es ist dies die Äquivalenz gewisser 

 Determinanten mit einem Quadrate (Baltzer §. 5, 8 etc.); noch einen Versuch glaube ich besonders hervor- 

 heben zu sollen, der sich bei Hankel: „Theorie der complexen Zahlen" findet, wo nämlich eine Determinante 

 mit Hilfe höherer Quadratwurzeln aus der negativen Einheit in ein Product von Factoren verwandelt wird, 

 allein während dies Product dort symbolisch ist, ist es in unserem Satze real. 



Bisher liaben wir nur Producte einer geraden Anzahl von Factoren, die gewissen Determinanten gleich 

 sind, betrachtet, wobei der Grad m der Determinante eine Potenz von zwei sein muss, wegen der wieder- 

 holt hervorgehobenen Symmetrie, worin auch der Grund liegt, dass unser Satz nicht für Determinanten unge- 

 raden Grades gilt. Dass jedoch auch für gewisse Determinanten beliebigen Grades ein Product erhalten 

 wird, will ich als Umkelu'ung des gefundenen Satzes beweisen. 



Zunächst ist klar, dass jedes Product, z. B. II, wie wir es oben hatten, das in jedem seiner ^"-Factoren 

 dem obigen Bildung.«gesetz genügt, so dass also unter Anderem seine Glieder nur die positive oder negative 

 Einheit als C'oefficient haben, ohne Weiteres einer gewissen symmetrischen Determinante gleich ist, die wir 

 ohne Schwierigkeit hiusclireibeu können. 



Allein es können auch einige Elemente Null sein oder die Anzahl der Factoren nicht die entsprechende 

 sein, und es gelingt dennoch immer, ein solches Product in eine Determinante zu verwandeln; denn zunächst 

 können wir die fehlenden Glieder durch Hinzufügung von weiteren, die auch gleich sein können, so ergänzen, 

 dass die Zahl der Factoren und der Bau derselben dem obigen Satze genügt, also eine gewisse Determinante 

 hiefür resulfirt. In der letzteren hebe man die überflüssigen, durch Hinzufügung aufgetretenen Factoren her- 

 aus, dividire durch sie beide Seiten der Gleichung und setze schliesslich, um das ursprüngliche Product wieder 

 zu erhalten, die nur zur Ergänzung dienenden Elemente gleich Null. Ein Beispiel soll dieses klar machen. Es 

 sei das Product 



( — rt-t-ö-f-c) (a — b-\-c) {a-\-b — c), 

 in eine Determinante zu verwandeln. 



Die Ergänzung ergibt sich in diesem einfachen Falle ohne Schwierigkeit, wenn mau die Gleichung I. 

 betrachtet, die ich in folgender Form schreibe: 



a-+-b^i-c-\-d , h , c , d 



a-\-b-hc~hd , a, d, c 

 a-\-b-i-c-^d , d, a, b 

 a 



-{a-^b-hc-{-d){a — b - c-\-d) (^a — b-hc-i-d){a-hb — c — d), 



a-hb-i-c-i-d , c, b. 

 oder wenn ich den ersten Factor wegschaffe, c? = setze und durch —1 beiderseitig dividire; 



-6-t-f) (a — h-\-c) (a-hb — c) = - 



1, 

 1, 



■1, 



d, 



d, 



d, 



h, 



In der letzten Gleichung ist jedoch der Grad der Determinante noch um eine Einheit grösser als die 

 Zahl der Factoren, allein w enn ich die erste Zeile von allen folgenden subtrahire und die Gleichheit der 

 Glieder in der ersten Colonne beachte, erhalte ich schliesslich: 



