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[a-hb — c) (a — b-\-c) ( — a-hb-hc):^ — 



und also ein Product gleich einer gleich hohen Determinante. 



Dass die Keduction des Grades der Determinante auf eine solclie, deren Grad der Zahl der Faetoren 

 gleich ist, stets möglich ist, ergibt folgende kurze Überlegung. Gesetzt, man habe w-Factoren gegeben und 

 diese durch Hinzufügen der noch erforderlichen Elemente zu einer Determinante vom Grade 2" und dem oben 

 angegebenen Bau ergänzt, wodurch links vom Gleichheitszeichen noch j) später wegzuschaflfende Faetoren 

 auftreten , dann ist also 



m-\-p-= 2". 



Bringt man nun die p ersten Colonnen auf je einen der wegzuschaffenden Faetoren und dividirt beider- 

 seitig durch diese p-Factoren, so treten in den j; ersten Colonnen der Determinante nur -i-l oder — 1 als 

 Elemente auf. Bringt man dann durch entsprechende Zeilcncombinationen diejenigen Elemente der m letzten 

 Zeilen, welche in den p ersten Colonnen stehen, sämmtlich auf Null, was offenbar stets möglich ist, so redu- 

 cirt sich die Determinante des Grades m-hp auf ein Product aus zwei Determinanten, eine aus den Gliedern 

 der^ ersten Zeilen und Colonnen bestehend, und eine zweite aus den Elementen der m letzten Zeilen und Colon- 

 nen gebildet. Die erstere enthält nur ganze Zahlen und keinen Buchstaben und ist also einem numerischen 

 Factor äquivalent, womit die Richtigkeit obiger Behauptung erwiesen ist. 



Bis jetzt wurden die Coetfieienten der Glieder in dem Producte gleich +1 angenommen, beachtet man 

 jedoch, dass z. B. gesetzt werden kann statt 3o, a-hb-hc, wenn schliesslich a= b = c wird, so können wir 

 folgenden Satz als erwiesen aussprechen : 



„Jedes Product aus m Faetoren, von denen jeder aus den Elementen a, b, c,...k 

 gebildet ist, kann in eine Determinante vom Grade m verwandelt werden.'' 



Dies ist die Umkehrung des Satzes von oben, der gewisse Determinanten in Producte verwandelte. 



Denkschriften der mathrni.-naturw. Cl. XXiVllI, Bd. Abhandl. von Nichtmitgliedein. 



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