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«\emplo o (i) posiliva desdci-=.r, aloa- = j-,:= (7 ; c,p(a) ne^ativa dcsdca;=: oate a-=: j-„: 

 podeinos escrevcr 



j ^(^x)dx=j (f{x}dx — / If (a-) da; ; aonde / ,f(x)dx, p j ^ [r) dv sio i|iiantidadri 

 • .T, ' X, •■ a '' X, 'a 



positivai. 



5. Scja (J, (,r) posiliva desde x = x^ aid x=^x,, e inclusivainenle neile? limiles; e .M (> 

 maior, assim conio m o raenor valor, que ip(j;) lem desde x=ix„ ate x = ,r„ , cnmprelien. 

 dendo tambeni csles limiles : digo que 



(1).... 

 Porque : 



'M(x,~ xj> I ^ (x) dx 



, (X) dx 



f [M— , (.r)] dx=: Mx—f^ (a?) dx , 

 f [9 (x) — ?n] dx =y 9 (x) dx — mx. 

 Passando aos limiles , acharemos : 



(2) / fW — 9 [X)] dx = M (x,— xj — f<f'(x) dx , 



C3) 





Porem considerando esles integraes, como ioinma de elementos difl'erenciaes. os pri- 

 ineiros membros de (2) e (3) sac esseucialmenle positives: logo as designaldades (1) 3S0 

 verdadeiras. 



Se (j)(a;) fosse negativa, em logar de posiliva, lomariamos por M o menor valor ihega- 

 livo do f {x) , e por m o maior, e concluiriamos : 



9 {x) dx , 

 (4) ] 



(.r„— xj > / ^{x)dx 



Seja 9(T)daf6rma/(a-) <p| (x), posiliva nos limiles da integra^ao , e dentio d'clles, e 

 3eja alem disso / (.r) rfx inlegravel, de modo que //(a ) (fj: = F (j:): supponliamos tam- 

 bem , como acima, que Me m sac o maior e menor valor que <p, {x) pode ter : digo que 



(5) 



■M[F(x.)-Fix,)]>f/(x),,(x)dx, 

 [F (x.)-F (X.)] < f}\x) 9, (X) d^. 



Porque f[Mf{^x) — f{x)^^{x-)]dx — MF{x)-ff{x),X'>')^^ 



/{f{x) ,, ix) — mf {«)] dx—ff{x) ,. («) rfflT — Tn F(,«). 



