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DomJo, pnssando aos limites, se conclue a exactidfio das desigiialdades (51. 

 (). Seja a funcj.'io pioposla if(x, a), c adraiuanios em primeiro logar que a;„ e .r n-io 

 TJiri,-Mn com as varia^Oes de a: digo que tercmos ; 



(1) • ^ = LA::±(^±^..j^. 



da / da. 



^. 



Por quatito / <f [x , a) dx = ^{jr„, a) — i(x^, a), segue-se que, se tivermos de achar 



« dcrivada oni ordmn a a, do primeiro membro da equa(,-So, devemos neile fazer somenle 

 variar o que no segundo nieuibro varia toui a,: mas tcmos lambem pela equagao (2) do n." 3 



-Ka-n, «) — .} (.r„ , «) = * [,p (a:, , «) + <p (j-, , a) + ? G«. , a) + ] : logo 



d.[^ (j-„, a) — ^ (x^ , a.)] _ ^ ^f!-f(x„^a) , d.^(.v,, ,) d.,p(x,, a) 



SI ^7 'H -^ 1 -r^ \- J. 



Lua O, a, da j 



:*2 





c-.omci tinbamoi asseverado (1). 



Seja em segundo logar: Xn.^^ F [a] : a;„ = i^, (a): acbaremos 



d . j ^ (_x, a)dx 



J T 





E na vcrdade 



e lemoi 



,„, d.if{3i:„, ^)^(d .;!f(xn, a)\ (d.}f(a-„, a)\ idx„\ 



^'^ da ~\ d^ ; + l dx, )\-dz)^ 



, , , '^ • 'I' (^. ■. «) _ ( d.ii{x^, g) - A< j,^r„,g) \ /c?a;A 



^^ da \ da )^'\ dx^ )\da)' 



Pore-m a equa^'So (1) do u.' 1 dd ( ^ " ^j^^ '^^ )^ , (x„, g); e ( ^ ' ^j^° ^ '^ )=ry (.-., .): 



. demons.rado ser (^ • ^ ^'"n, a)\ /d. ^ (^„ , .)\ T'^d ■ , (.x . .) _ ^^^ , 



\ da ) \ da ) J da ^ ' 



mando a difierenca do3 primeiros membros das equajues (3) e (4) obleremos 

 «Mj(2;., a) — K'^o ) «)1 _ / d.^ix.a) 



d 



equafiio (2). 



=/-%^- '^^ + ^(--) (^)-'^^. -) (S)"'- '= » 



7. Se na equacao (2) do n.° 3 se lornar i infmitamenle pequeno , ou se fizer- 

 Taoi Sz=dx, sera lambem n — 1, ou n = co, o que suppoe que naquclla equa9ao e debaixo 

 do signal 2 entra lambem <({x,). 



