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 SEC^;A0 DE 3IATHEMATICA. 



ADVERTENCU. 



Annuimos a publica^'io d'estes aponlamenlos pela imprensa, por nos ler nioslrado a 

 f.xperiencia que d'elles pode resultar ali,'iima nlilidade no estiido eleinentar da Trigomimelria 

 ipheriea. a qual faz parte do curso de matheinaticas piiras na faculdadc de malhematica. 



S P. 



APONTAMENTOS DE TKIGONOMETRIA SPHERICA. 



I. O thooreina fundamental 



cos a' — cos 6' cos c' 

 sen 6' sen c' 



(I) 



costuma demonslrar-sc construindo o quadrilatero , de que sfio lados as tanfenlcs e secantej 

 dos dois arcos b' e c' do triangulo splierico, e de que e um dos angulos o angtilo <i do 

 mesmo triangulo. Mas aconstruc^fiodeixa de ser a mesrna, quando nfio s.io menorcs que 90' 

 ambos os lados b', c'; porque, se urn d'estes lados e >90", a secante respeoliva n'lo encontra 

 B taiigente , mas siin o sen prolongamenio; e se um dos mesinos lados e ^OO", a secante 

 respectiva e parallula a tangenle. 



No entretanlo, sein fazer nova construcjao , pode mostrar-se que ainda nos casos 

 mencionados tern logar o tlieorenia (I). 



I. Se 6'<90°, c'<90''; a construc^ao da, coroo 

 dissemos, no triangulo A B C a. formula (1). 



II. Se i'<90°, c'>90°: produzam-se BAcBC 

 ate coraplelar era B' o fuso spberico BB'. No triangulo 

 jB'^^seran: 



B'A= 180°— c', B'^C=180°— o, JB'C= 180°— o', 

 e a formula (1), que tem logar para o angulo B'AC 

 d'este triangulo, da 



cos B'AC = 



cosB'C— cos // U'coi^C 



■■" (1)- 



^en A h' sen A C 



III. Se i'>90°, c' >90'': o triangulo B'AC, relativamente ao angulo B'AC esta 

 no caso precedente (II); e por isso ainJd tem logar a mesma demonstrac^'io. 



Ou fambem : produzindo os lados BAe AC ate eneontrarem em fi' e C o arco 

 BC produzido, sera no Iriangido CAB': 



B'ACi = a, A B' = lSO'—c', AC'=180°—b', O B' = a' ; e applicando-lhe o 

 liieorema vira a formula (1). 



IV. Se 6' =90% c'=90°: a formula (1) da 



i: 



"para o angulo a, 

 para os angulos 6 ou c 

 o que concorda com as propriedades conhecidas dos polos 



cos arr^cos a', aTz=a' "^ 



, cos 6 = o, 6 =:r 90°; cos c = o, c — 90° J 



V. Se e s6mentec=i90°: produza-se, ou corte-se AC, ate que seja AD = 90°. 

 \.° Se B D nao e = 90°; o tlieorcma sera applicavel ao angulo D no triangulo 

 C BD ;e dara 



cos a' — cos B D cos C D 

 '''" seaBDienCD ' 



que, per ser cos D=zo, se reduz a 



cos a' = coi B D coi C D:= cos a sen 6' ; 



