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« coma a formula (1), applicada ao angulo a no iriangiilo ABC, da laoabeiti 



cosa=: oil cos a'=cos a sen 6', segue-se que aquella formula e ainda verdadeira 



sen 6 

 nesle caso. 



%.' Se e B D — 90° : como tambem e ^ B = 90', sera B polo de ^ C, e conspguin- 

 teinente a' = 90°; logo (IV) o theorema e ainda verdadeiro no caso de que se trucla. 

 (Veja-se a Anal. appl. a Geometria de M. Lcroy nn. 453 — t5d ; e a meinoria do sr. J. 

 Cordeiro Feyo nas da acadeniia das scienc. de Lisboa de 1839.) 



2. A formula (1) da 



^ / .,„(.i±^)..„(g3E|EF) j 



Q. ' Ren b' sen c' 



/ /a' + 6' + c\ ,y + c' — fl' 

 i / sen I 1 sen ( 



1 \ \ 2 ; V i^ 



co5-a=;V n ) / 



2 sen o sen c' ' 



Seja t' o maior dos Ires lados. Serao o' + 6'>c', c' + 6' > a' ; e para que sen - a seia 



real , teremos a' + c' > &'• Logo : a somtna de dots lados ijuaesqucr c maior que o Urceiro. 



Para que seja cos -^ a real, deve ser a'+6' + c'<; 3G0°. Por tanlo a somtna dos Ires 



lados esla comprebendida enlre 0° e 360°. Se esla somina fosse 0, o triangulo seria recti- 

 lineo; e se fosse 360°, o triangulo serin urn fuso splierito. 



3. A mcsma formula (1) applicada aos tres angulos a, b, c, e eliminados depois 

 6', c' , da 



/ /" + l' + c\ /b+c — a\ 



1 , \/-'°'{-^)'''"{-^—) 



sen - a' = V ; . 



» ' sen 6 sen c 



Seja a o maior angulo. A expressao de sen - a' mostra qne , para que ella seja real 



deve ser - — > 90° c < 270°, on a + b + c> 180' e < 540*. Por tanlo a somma dos 



tres angulos esta comprebendida entre 180° e 640°. Se esta somma fosse 180°, o triangulo 

 seria rectilineo ; e se fosse 640°, o triangulo tornar-se-liia em uma semi-spbera , de sorte 

 que OS sens tres vertices seriam ponlos do circulo niaxinio. 



No caso de n.'io ser a o maior angulo, a expressao de sen - a' moslra qne ainda deve 



ser: b + c — a< 180°; e por isso esta propriedade tem logar, qnalqucr que seja o angulo o. 

 As propriedades relativas aos angulos, que acnbamos de referir, resullam egualmenle 

 como deve ser, das relativas aos lados, qnando eslas se applicam ao triangulo supplenien- 

 tar. Porque a' + b' + c' >0, e < 360°, e a' + b' > c', dao .540° — (a + b + c) >0,e< 360° 

 e360° — (a + 6)>100° — c, ou (2 + 6+c<540°, e > 180°, e a + 6 — c< 180°. ' 



4. Para evitar cnganos nos signaes podem os quatro tlieoremas fundamcnlaes, que 

 todos se encerram no ( 1) , enunciar se do seguinle modo : 



1.° Cosetto d'unj lado i egual ao coseiw do angulo opposto miiltiplicado pelo prodtt- 

 clo dos senos dos o\ilros dots lados , jna/s o produclo dos cosenos dos luesinos lados, 



2 " Senos dos an^idos sdo proporcionaes aos senos dos lados opposlos. 



3.° Produclo dos costnos das paries vtedias e egual a differenga dos senos das inesniiii 

 partes multiplicados respeclivamenle peluf eolangenles das extremas , lado com lado e an- 

 gulo com angulo • sendo lyrgalivo o Icrmo em qu,e ha so angulos. 



4 ° Coseno d'tim angulo i eguol ao coseno do lado opj>osto multiplicado pelo produ- 

 clo dos senos dos outros dois angulos-, intnos o produclo dos cosenos dos mesnios ani^ulos. 



Kos tbeoremas 1.*, 3.°, e 4.° e negativo np segundo membro o termo em que entrani 

 so angulos. E note-se que a inicial n de negativo entra na palavra angulo, e n.vo enira na 

 palavra lado : observacao esla que lorna impossivel o engano nos signaes. 



