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 ADDITAMENTO A GEOBIETRIA DE LEGENDRE 



POBMCIAS FC5DiMBSTAES DA TBIGONOJIETRIA tlECriUNEA. 



Ainsi Us proposiliont Jondamcntales de la gt'ometrie >i 

 Ttduisfnty pour aiitsi dire, accUe-ci Sfu/e, que leztrianglti 

 e^/uiangtea out Iturs c6lc» homologues projwrtiontuh. 

 Lboe.mirb. I.iv. 3.° |>ru|i. 23. 



Baixando do vertice yl sobre a base BC a perpendicular Ap os Iriangulos A Dp, ApC 

 djio pelo citado llieoreraa de Legendre, Liv. 3.° prop. 18, 



a sen B = 6sen^:/: a sen C=c sen /^: c sen i? = 6 sen C , 



(0. 



Neste systenia deequajoes unia dellas e cnnsequcncia necessaria das oulras duas. Resol- 

 veiido OS triangiilos reclaiigiilos AUp e pAC, islo e, tirando os valores de Bp, e Cpf 

 (t.) acha-se a^^c cos B-\-h cos C; e por i^so , procedendo semellianleiuenle, conchiimos 



a =c cos B -\-b cos C; b=^ a cos C-\-c cos y} ; c=a cos Z? -{- 6 cos yl. 



(&) 



As cciua^oes (p) mostram que u y^s projecrocs dos dous lados de iim triaiigulo sobrc o 

 iercciio (produzido se necessario for) sdo eguoes no tcrceiro lado. )> Veja-se Franc. Trig. n.° 



212X11. 



Subslituindo em o:=6 cos C+ccos B os valores de 6 e c liradoi do a sen B;=z6 sen ^, 



a sen B cos C a sen C cos B 



fl sen C=^c sen .^, fica a = : H ,* 



ben ./i sen .r-i 



ou sen (B + C)=sen Z? cos C+sen Ccos jB (-j) , 



Se na inesma equa^ao a:=6co3 C + c cos B escrevermos por b o valor (g) 

 /j=:a cos C^c coiji, acliaremos 



fl=j(a cos C-\-c c<x^) cos C+c cos'B; osen ' C::=c cos B + c cos /f cos C 



logo 



_ , . ,^^ (I sen y^ 



cos i? = — cos ( .^ + C) ; - = '■ 



^ c sen C 



cos {A -^ C)z=coi A cos C — sen ►^ sen C. 



(*) 



Por consequencia (-j) (J') sendo a e p dous angulos posilivoi, e cada um dellc* Inenor 

 quo ;,, se verificara seuipre as eqiiajoes (,) 



sen (a + p) = sen a cos ^■\- cos a sen p 

 cos (a -j- p) = cos a cos p — sen a sen p 



1 



(.) 



Sabe-ie pela geometria que sen (i^ +x) =cos a:; e que cos (iB-f.ar)=r — stn x. 

 Seja pois a,=iit + a) teremos sen (a, + p) = cos (a + p); cos (o,+ pj ;:= — sen (» + 6) 



logo (t) sen (a, + p) = cos » cos p — sen a sen p : 



cos (a, + p) = — sen » cos p — cos ^ sen 9 : ' 



oliminando a dos segundos membros d'eslaa equa5oes, ficara 



sen (a, -f P) = sen a, cos p + cos a, sen p 



cos (a,-fP} = co» «, cos p — eeo j, sen % 



