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O methodo, por que se alcangaram estas eqiiacoes, mostra que(i)$aoexacta9, quaesquer 

 que sejaro as grandezas de » e p , com tanto que esles arcoi (ejam posilivos. 



E sabido que sendo n, e n' inteiros posilivos 

 *enir=sen [^nv-\-^)'< cos a?' = cos (2«'w + a;'}; ou x seja positive ou negativo: podemos 

 poii tomar n e n' convenieiitemente grander para que 2/i«4-,, Zrf'„ + ^ sejam arcos 

 pnsitivos : logo 



sen (»+g)= sen (2ra „+a+ 2n' «+p) = sen {In „+«) cos (2n',+p)+cosJ(2i« ,+«) sen (2«' ,4-g) 



cos {»+p) = cos (2rt „+»+2n' „4-p) = cos {J2n ,+«) cos (2re' «-^p)— sen (2n ,+,) sen (2n" ,-f p ) 



ou sen (a + p) = sen a ens g -J- cos „ sen p ; cos (, -)- p) =: cos a cos p — sen a sen p : pof lanto 



y/j equa^oca (,) ocrijicam-se , quaesquer que sejam as grflndezas e signaes <fe a e p. 



A terceira equa^'io (p) e c=:acos 5 + 6co3 ^; porein {») a*Aen* Z? = 6*8en^ ..^ 



ou 



i2J 



=V-^ 



sen^^; logo (c — 5 cos .4)'= a* — 6* sen' // ; e 



:t'+c=' — 26c cos^- 



•W 



6' .•=: a' + c" — 2ac ;cos;B 

 c^=a^ + 6» — 2a6 cos C^ 



Logo: asequa55es(a), (?),(^'), ($), (•), (x) resolvem todos os problemns, que podem pro- 

 ■por-se sobre resolugao de Iriangulos, conio pode ver-se passim em qualquer trigonomelria, 

 ;(Bspecialinente na de Francoeur ii.° 200 a 203 ; e 211 e212. Por islo se ve com quanta 

 •razao diz Legendre no scbolio II da proposigao XIX do 3.° Livro da Geometria, a respeilo 

 .dos triangulos semelhanles: 



« Les deux propositions precedentes qui n en font propi'ement quune, joiiites a 

 M celle du quarre dc L' hypotenuse, sont les propositions lea plus importantcs, et les 

 K plus fecondf.s de la geoiiiilrie • elles suffisent presque seides a toutcs les opplica- 

 '■: « tions, et a la resolution dc tous les problcmes. 



Podiamos, [com Legendre Trig, ou Franc, nota sobre o n.°201.] lomar, como principiolan- 

 damenlal da Trigonomelria rcctiliiiea, as equagoes (li), as quaes, combinadas duas a duns 

 por somina e dil'ferenga , dfio por somma as equagoes (p) ; e por diiTerenga as segiiitiles 

 a^ — 6''^ c [a cos B — 6 cos y1] ; a'- — c^=6[acos C — ccoijj] ; 6* — c^=a [6 cos C — ccos B]: 

 e comparando eslas equajoes com (pj, tiramos (a) , (f), [S], (t). 



Coin tres angulos, cuja somma seja egual a it, podeinos conUruit a vonlade urn trian- 

 gulo, c depois intinitos semelhanles ao primeiro; Leg. Geom. prop. 21, Liv. 3.°; e por ib>o 

 dados OS tres angulos de um triauguio nao podemos construir um detenninado trianguln ; 

 ficain porlanlo reduzidas as conslrucgoes as liypolheses dos problemos 7°, 8.*, 9.°, 10.°ell.°, 

 da citadu Geom. de Leg. Liv. 2°. Islo mesiiio se couclue da analyse, ou se lomern (a), 

 ou (?) , tou)o fundauienlo da Trigonomelria. As eqiiaijoes (a) represenlam unicamente duas 

 equfu;oes dislinctas enlre cmco quanlidudes ; porque nma qualquer de entre estas equagoes 

 resulta da nuillipliragao , e convenionlemenle ordeuada , das oulras duas; e it =./^ + i? + C 



As equagoes (;) lambem se reduzem unicamente a duas equagoes dislinctas enlre ci?ico 

 puanlidades. E coui effeilo, tome-se (j) como principio fundamental: (a), (p), (7), {S), U), 



!ao, oomo vimos , corollaries de (j;): ora a terceira equagao (;;) e 

 '=a''4-6'+2(i6 cos (y^+ /i) = a^ + 6^4-,2a6 co5y:/co3i? — 2a6 sen^seni?: mas (»} 

 a sen fi = 6 sen .//,! logo c''=a*-)- 6^-)-2a6 cos j4cos B — 26^sen*^; ou 

 c^^^a^ — 6^+ 2 6 cos ./^ fa cos Zi -f 6 cos ^] ou (p)t^ = a' — 6^+26ccos.^: isto <■' , 

 " =6^ + c^— 26 c cos y^, que e a primeira equagdo (;;) Logo; 



Tanlo as equagoes (a), com as equagoes (5), represenlam um systema de duas equa- 

 foci dislinctas entre c\nco quantidades , e por isso (Francoevr Algebra Elemenlir n.° 12.3) 

 fiao se pode resolver um trialigulo , seni que os dados sejapi tres dislinclos; islo e, sent 

 que, entre os dados em nuniero de tres, entre um lado pelo menos. Os ires angulos ndo 

 Matiffazem . 



Ve-se, pelo contrario , que, dados oslres lados, aresolugao dotriangulo e'determinada ; 

 porque (a), ou (j;) , formam systemas de duas equajoes em que enlram os tres lades, e 

 dons angulos. 



BCFIKO OCEBf A OSORIO. 



