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APONTAMENTOS SOBRE A THEORIA DAS PARALLELAS. 



ADVERTENCIA. 



Usamos dos Elenieiitos de Geoiiictria d'Eiiclides, piiUlicadob pela iuiprensa da uiii- 

 versidade em 1846: na definijiio porem de parallelas suhenteiidemos suppriiiiida a phrase on 

 cquidt$tante$, (vid. def. 3d do 1.° Liv.), porque iiao t; d'Eiiclides. Dcvciii U'r-se as rcfc. 

 rencias ao Legendre na duodecimo edigdo da sua gcometria, impressa em Paris, em 182."!. 



Lemma I. 



ji recta, que une as extremidades de duas rectus eguaes c perpendicnlares a uma i/uarla 



recta , fa% angxdos eguaes com as dictas perpendicnlares. 

 Fig. I. 



\ ^ n Sejam (Fig. 1) BC e AD eguaes e perpendiculares a CD , 



tire-se AB: digo que os angulos DAB e ABC sao eguaes. 

 Pelo ponto G raeio de DC, esleja tirada a recta GE perpen- 

 '^ dicular a DC, e as rectas BG e AG. A perpeudicular EG esla 

 denlro do angulo AGB (Leg. liv. 1 prop. 21). 

 n f. r. Nos triangulos ADG e GBC temos AD=BC; DG = GC, 



e 05 angulos em D e C eguaes: logo (Leg. liv. 1, prop. 6), os triangulos ADG e BCG 

 sao eguaes, e por isso e DAG:=CBG, e DGA = CGB, sendo tambem AG=sBG: ora 

 como AG = BG, «egue-se (Leg. liv. 1, prop. 12) que e GAE:?=GBE : por conseguinle as 

 duas egualdades GAB = GBA, ej DAG = CBG, dao GAB + DAG = GBA + CBG ; ou 

 DAB = ABC. 



coROL. Sendo DGE = CGE, DGA;:;=CGB, sera AGEsssEGB: ora os triangulos 

 AGE e EGB tern AG = GB, GE coramum, e os angulos AGE e EGB eguaes: logo 

 AEss EB, o 03 angulos AEG e BEG sao rectos. 



scHOi.io. Construidas as rectas DC, DA, BC, debaixo das condigoes do presenle 

 lemma, se quizermos baixar de B ou de A uma perpendicular sobre GE, produrida, em 

 logar de procedermos na conformidade do que se le em Leg. (liv. 2.° probl. 3), bastard 

 unir OS pontos B e A por uma linlia recta. Sabe-se (Leg. liv. I, prop. 16), que d um 

 ponto dado, fora d'uma recta, se nao pode tirar aenao uma perpendicular a recta. 



1^ 



Lemma IL 



As rectas (Fig. I) AD , EG , BC sdo eguaes. 



Porque se assim nSo fora, verificar-se-hia uroa das desegualdades 



Fig. II. 



seCH = 



l.» EG>BC:2.' EG<BC. 



Seja em prinicrro lugar EG > BC. Snp- 

 ponha-se AEBCGD (Fig. II) construida,como 

 Fig. I : produzam-se em direitura do si nies- 

 mas as rectas DC e CB; tome-se CC'=sDC; 

 m C estpja C'B' perpendicular a CC, e 

 egual a BC; tire-se BB', e G'E' perpendicu- 

 lar ao ineio de CC'. fi facil de ver que E'G' 

 = EG, e BC em tudo egual a AC. 

 r: f< Qi '(f Por quanto admitlimos que EG>BC, tome; 



EG = E'G'. Designe-se um ponto I acima de H , e lirem-se EH, EI, E'H, E'l. 



