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Oi quadriialeros EGCH e HCG'E' sao eguaes por construcgao ; e a tambem (Lem. I) 

 GEH=EHU, CriE'=G'E'H, e pela egualdade dos quadrilateros, EHC = CHE', e 

 KH=E'H: logo EHI=:E'HI, comosupplemenlos d'angulos eguaes. Sendo pois EH=E'H, 

 HI commiim aos triangulos EHI e E'HI, e o angiilo EHI = E'HI serao os triangulos 

 liHl e E'lll eguaes: era EI + E'l > EH + HE' (Leg. liv. 4, prop. 9); logo EI > EH. 

 Por conse(iuencia o pe da perpendicular haixada de E sobre CL iiao pode estar para cima 

 de H (Leg. liv. 1 prop. 16): o dicto pe tambem n.io pode estar eni H, porque EHC=HEG, 

 e HEG e obluso : tambem nao pode eslar o pe da perpendicular para baixo de H, por 

 exempio, em I', alias o iriangulo HEl' teria dous angulos maiores que dous rectos, o 

 que e impossivel (Eucl. liv. l." prop. 17). Por lanto , se EG > BC , do ponto E nao se 

 pode tirar uma perpendicular a CL ; o que e falso (Lem, 1 scholio,ou Eucl. liv, I, probl. 

 12). Logo 



BC nao e menor do que EG. 



Supponlia-se BC>EG. Feita a precedenle construc^ao (Fig. II), tome-se CH'r^EG; 

 para baixo de H' tome-se um ponto T ; tirem-se EH'jEI', E'H', E'l'. Demonstra-se come 

 acima fizemos , que EI'>EH': logo a perpendicular, baixada de E sobre CL , nao passa 

 para baixo de H'; e como GEH' e agudo, sera EH'C agudo , logo a perpendicular, de 

 que faliamoi, iifio passa por H'; mas, sendo EII'C agudo, EU'L e obtuso , por isso (Eucl. 

 liv. I, pnip. 17) a dicta perpendicular nao corta CL para cima de H'. Logo sendo BC maior 

 do que EG nfio se podera tirar por E uma perpendicular a CL, o que e falso : (Lem. I. scholio) : 

 e por isso 



BC nao e maior do que EG. 



Concluiuios pois que nfio e BC maior ncm menor que EG; logo BC:=EG. 



CoKOL. I. Os angulos (Fig. I) em A e B sdo rectos. 



Os triangulos GEB e BGC s.'io rectangulos um em E outro em C; lem a raesma 

 liypotlienuse BG : e EG := BC : logo sao eguaes (Leg. liv. 1, prop. 18); e por conseguinte 

 EBG=BGC; EGB=GBC; e por isso EGB + BGC = GBC + GBE = EGC = a um 

 recto. 



CouoL. II. Os irez angulos do Iriangulo reetangitlo eguivalem a dous rectos. 



Porque EBG=BGC : logo BEG+EGB + EBG=BEG-|- EGB+BGC=BEG + EGC= 



a dous rectos. 



CoROL. III. Os trez angulos d'um Iriangulo qnalquer eguivalem a dous rectos. 



lug. III. 



Seja o Iriangulo ABC (Fig. Ill) oblusangulo, e B o angulo 

 obtuso: a perpendicular baixada de B sobre AC caLira (Eucl. liv. 

 1 prop. 17) dentro dos ponlos AeC: tire-se, e seja BP. Os seis 

 angulos do3 triangulos ABP e BPC valem quatro rectos: tirando 

 OS angulos P, ficara A+B + Ci^ia dous rectos. 



Se o triangulo (Fig. IV) e acutangulo a perpendicular, baixada 

 de A sobre BC, cahira em BC, e concluiremos , como preeedente- 

 mente A + B-fC = a dous rectos. 



CoROL. IV. Os quatro angulos do quadrilalero equivalem a 

 quatro rectos. Porque o quadrilatero se divide em dous triangulos, 

 C por meio da diagonal. 



CouoL. V. EB (Fig. 1) e metade de DC. 



CoROL. VI. j1 diagonal (Fig. 1) DB e dividida ao meio por EG. 



Porque EB=:DG: DOG — EOB; DGO = OEB; logo (corol. II) EBO = OpG 

 e porlanto (Leg. liv. I, prop. 7) DO = OB ; e tambem OG = OE. E assim a perpendicu- 

 lar MN ao meio de AD passa tambem pelo ponto O. E como per um ponto se nao pode 

 tirar mais do que uma perpendicular a uma recta, segue-se que a perpendicular baixada do 

 meio da diagonal sobre o lado do reclangulo divide esse lado ao meio. (Leg. liv. I prop. lo). 

 Advertiremos mais que por ser OG=:OE, e 2 OG = AD, e por isso MO = DG. 



