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Thcorcma . 



Ou axioina duodecimo do priineiro livro dn Geniiictria d' Eudidca. 



LI se uma liaha recta, encoiitrwido-se cotii oulr<is duns rectus ,Jizcr os aiigutos intcruas 

 __ incsma jiartc iiienorcs, que do^ts I'cctos , cstas duas rectus pradirJdds ao infinilo concur- 

 rcrao para ii mcsina parte dos diclos angulos ijUcrnos. 



da 



/VV 



Scjam AB e CT) (Fi;;. V.) diiaa roctas, que cortaclas por EC! 

 fazeiii OS aiij,'ulos BliG e E(iD iiioiiores i|ue dons reL-lns: si-iido 

 ^ islo assini , iitii do^ an^'iilos, por cxpiMpIo , EGD e necessaria- 

 ineiile agiido ; de E haixe-se Ell perpendicular a CD. Por 

 J) hypothese IIGE4- GEM + HEB sao ineiioros que dous rectos; 

 G H mas (Lciii. II corol. II) IICiE-|-GEH vaiem uni recto; logo 



IlEB e apudo : por couseguiute o estaliplecer (|ue BEG-j-J'^GD sao meuores, que dous 

 rectos, equivdl a supper que , scndo EIID recto, e IIEB agudo. Posto isto : 



Fis. 11. 



^ Seja (Fig \ I) ACD um angulo recto e CAB uin 

 angulo agudo, digo que as reclas AB e CD, seiido 

 ^ prodiizidaS; liao de cortar-se paia a parte BD. 



Ao ponto A da recla AC levaiite-so AX , perpen- 

 dicular a AC: do ponto B baixe-sc BP, perpendicu- 

 lar a AX , e em urn ponto X de AX levante-se KX , 

 . Y perpendicular a AX, e egual a BP: tome-se AL=BP, 

 e tirem-se BL e BR, que estfio em direitura uma 

 ^ da outra, porque sao rectos (Lem. II corol. I) os 

 angulos PBL c PBR. A recta AB, produzida para o Udo DX, passa por baixo de BR, 

 porque ABP e agudo, e por isso PBM' e obtuso. Produza-so pois AB ate um ponto M': 

 de M' baixe-se M'P' perpendicular a AX: fa^a-se P'n = PB: o ponto II esta na recta 

 BR: porque o quadrMatero, que se formar com PP', PB, P'H , e uma recla BH lem os 

 angulos em H e B rectos (Lem. II corol. I), logo (Leg. liv. I prop. 15 corol.) a recla 

 BH do quadrilatero e uma parte de BK. Sendo PUB recto BUM' tambem o e. Seja [ o 

 nieio de IIM', lire se IM perpendicular a HM', sera M o meio de BJM' (Lem. II corol. 

 VI); lire-se jMQ perpendicular a AX; e porque PBG e recto, QGB tambem o e (Lem. 

 II corol. IV): logo o triangulo BGM e rectangulo em G, como MIM' o e em I: por 

 oulra parte e BG = GH, e Gll = MI e HI = MG (Lem. II corol. VI), e PQz=QP. 

 (Lem. II corol. V). Logo M'il = 2. WG. 



Produza-se AM' em direitura de si mesma ate ser M'M" = MM': de M" baixe-se 

 sobre AX a perpendicular M"P": fa9a-5e P''h = P'l : tire-se 1h: por esta conslrucgao 

 OS angulos P'ln e P"iil sao rectos, e por isso MIh e uma recla; e o angulo MhM" 

 e redo: divida-se hM" ao meio no ponto I': a perpendicular a P"M" no ponto I' passara 

 necessariamente pelo ponto M' (Lem. II corol. VI); e por ser M'l perpendicular a Mil 

 sera I o meio de Mm (No mesnio corol ) : e nI'=M'I = rM''=MG. Logo M"h=2. MG : 

 e como PBG' e recto, P"G'B tambem o e: logo (Leg. liv. I prop. 15) P"G' = PB, 

 porque, se assim nfio fosse, do mesmo ponlo B se poderiam baixar duas perpendiculares a 

 P''M'' (Lem. II corol. J): do mesmo inodo se ve que QG^PB: e por isso G'M'':=3. MG. 

 Podemos continuar indefmidamente a conslrucgao precedeute : e por isso podemos con- 

 struir uma recta GC" — =) M^"~')::=n. MG , aonde M^''~'i designa um ponto de AB , 

 produzida. 



De L para C lomem-se Lx = xy=y%=^~tz=tu = MG : se MG e LC s.'io com- 



mensuraveis um dospontosa;, ou y , s. . . . caliira em C , que representa a divis;'io n ; con- 

 tando 1 em x; 2 em ?/ ; .S em %;....: produza-se AB, e de B para Y tome-se uma recla egual 

 a n. BM , a extremidade de AB , estara em CD , egualmente produzida , se necessario for; 

 porque a perpendicular baixada sobre AX da extremidade de <i AB + '"- BM n e eguil a 

 AL-\-n. L.V. 



Se MG e LC n.'io sfio commensiiraveis , a ("""^ divisHo x, ou »/■■•• cahira entre L e 

 C : a divisilo n estara para baixo de C. Tomando em AB produzida a recta , de comprimento 

 AB + n. BM , e baixando da extremidade uma perpendicular sobre AX, essa perpendicu- 

 lar e egual a AL + n. MG. Logo AB, produzida, corta CD. 



E. G. OZORIO. 

 Abril de 18SS. 



