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On part du triangle, T , formé, dans le demi-plan, par les droites E = o, 



\ = i, et la demi-circonférence de centre (-> o J et de rayon -; on prend 



les triangles symétriques de T par rapport à ses côtés, et ainsi de suite 

 pour les triangles successivement trouvés; on obtient de cette manière la 

 division A, en triangles T; chacun de ceux-ci a ses trois angles nuls et ses 

 sommets sur r\ = o, sauf un, qui peut être à l'infini. De plus, une substi- 

 tution modulaire quelconque change A en A, et il existe une et une seule 

 substitution 'modulaire changeant à la fois T en T et un sommet de T. 

 donné arbitrairement, en le sommet z = oo de T . Toutes ces propriétés 

 sont classiques. 



3. Interprétation géométrique des fractions continues. — Cela posé, co étant 

 une irrationnelle positive quelconque, parcourons la droite \ = co (ou D ), 

 de + ao vers co, dans le demi-plan; nous traversons des triangles successifs 

 de la division. Soit T l'un d'eux; appelons pointe de T (par rapport à D ) 

 le sommet d'où partent les deux côtés de T que coupe D , et désignons 

 par p \q l'abscisse de cette pointe. Les pointes sont toutes sur yj = o; le 

 premier triangle traversé, T,, a z = », a, a -h i pour sommets, a étant le 

 plus grand entier contenu dans co : on regardera comme sa pointe le 

 point a'.i, c'est-à-dire qu'on commencera la suite des/» : q par a : i ; on la 

 continuera ensuite sans ambiguïté, indéfiniment ( ' ). 



Or, on établit : i° que la suite des p \ q distinctes est exactement celle des 

 réduites de la fraction continue ordinaire qui représente co; 2° que le quotient 

 incomplet auquel on s'arrête (exclusivement) dans cette fraction, pour obtenu 

 la réduite p : q, est égal au nombre des triangles T, de pointe p ; q, traversés 

 par la droite D . 



4. Cas d'un nombre co quadratique. — Si co vérifie l'équation 



où a, b, c sont entiers et premiers entre eux, considérons la demi-circon- 

 férence 



a{'i- -+- ï)" 2 ) -+- a f'i -+- c = o, 



soit C, et suivons-la, dans le demi-plan, en nous dirigeant vers le point co. 

 Opérons sur C comme tout à l'heure sur D , en formant la série successive 



(') Si w est rationnel, la suite s'arrêtera à 



