SÉANCE DU 3 JANVIER 1916. 25 



des abscisses des pointes (par rapport à C) des domaines traversés par C : 

 il est évident géométriquement que cette série coïncide, à partir d'un certain 

 ternie, avec la série analogue relative à D . 



Appelons maintenant arc de C tout arc intercepté sur C par un des 

 triangles T; en répétant des raisonnements classiques, on reconnaît que ces 

 arcs se répartissen t en périodes; une période est formée par u arcs successifs, 

 découpés sur C par des triangles 



T<", T<- W; 



l'arc suivant serait découpé par le triangle transformé de T (,) par une sub- 

 stitution modulaire fixe, S, changeant w ( et C) en elle-même; sous forme 

 binaire, S est la substitution semblable fondamentale de la forme (a, b, c). 

 (Le choix entre S et S - ' se fait en prenant celle des deux substitutions qui 

 change un point de C en un point plus rapproché de a>.) La période suivante 

 est dès lors formée par les triangles 



T<»S, T' 2 >S r I»S, eic. 



D'après la signification géométrique des quotients incomplets de la 

 fraction continue to, il est clair que ceux qui correspondent aux triangles 

 d'une période sont les mêmes, dans le même ordre, que ceux de la période 

 suivante, et ainsi de suite : de là résultent la périodicité de la fraction con- 

 tinue, la périodicité inverse de celle qui correspond au nombre quadratique 

 conjugué de co, et bien d'autres propriétés de ces développements. 



5. Réduites de M. Hurwilz. — Ce sont les formes quadratiques binaires 

 indéfinies (a, 3, y) pour lesquelles a> o et y < o. On reconnaît aisément 

 que le nombre de ces réduites équivalentes à F est celui des formes, J/, équi- 

 valentes à F, dont la circonférence représentative coupe les deux côtés recti- 

 lignes du triangle initial T„. 



Or, il est clair que l'arc de C intérieur à T équivaut modulairement à 

 l'arc, intérieur à T„, d'une et d'une seule forme •]/; on obtient ce dernier 

 arc en appliquant au premier la substitution modulaire qui change T en T 

 et la pointe de T en le sommet *. de T, : on en conclut que le nombre des 

 formes t|/ est celui des triangles T traversés par C, dans l'intervalle d'une 

 période d'arcs; donc, d'après le n n \\, il est égal à la somme des quotients 

 incomplets de la fraction continue oj, pour l'intervalle d'une période. 



Enfin, on établit facilement qu'à la période des arcs sur C correspond la 

 période minima des quotients incomplets, ou cette période répétée deux 



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