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fois, selon que la forme initiale (a, b, e) n'équivaut pas ou équivaut à 

 (— a, /', — c) (Dirichlet .). Donc : 



Le nombre des réduites de M. Hu/witz équivalentes à (a, 6, c) est égal à la 

 somme des quotients incomplets de la période minima obtenue dans ta réduction 

 en fraction continue de co, racine positive quelconque de au>' 2 -+- iboi -+- c = o, 

 ou égal au double de cette somme, selon que (a, b, c) n'équivaut pas ou équi- 

 vaut à (— a, b, — c). 



On aurait pu donner de ce théorème une autre démonstration, en suivant 

 la marche de Dirichlet; mais la méthode indiquée s'étend seule au cas 

 suivant; de plus, elle met en évidence une interprétation géométrique inté- 

 ressante des fractions continues. 



6. Réduites d 'Hermite . -- On appelle ainsi les formes dont la circonfé- 

 rence représentative pénétre dans le domaine fondamental classique du 

 groupe modulaire. La recherche du nombre de ces réduites qui équivalent 

 à F est notablemenl plus difficile que la précédente, parce que, au lieu des 

 triangles T, dont tous les sommets sont sur r\ = o ou à l'infini, il faut intro- 

 duire les domaines modulaires ordinaires, dont un seul sommet jouit de 

 cette propriété; de même, au développement en fraction continue de co, il 

 faut substituer la méthode d'approximation d'Hermite. Nous reviendrons, 

 avec quelque détail, sur cette question qui est l'objet principal de notre 

 travail; énonçons seulement ici le résultat final, analogue à celui du n° ."> : 



Soient A, , h 2 , . . ., h k les quotients incomplets de la période minima obtenue 

 dans la réduction de co en fraction continue; le nombre total des réduites 

 <r Hermite équivalentes à (a, b, c) est (i -f- À,) •+- (l ■+- h 2 ) -H. . .-H (i 4- h k ), 

 si l'on ne regarde pas comme distinctes deux réduites telles que (a, $, y) et 



< - *, % - ï )• 



Il y à exception lorsque, parmi les circonférences représentatives des 

 réduites, il en est qui passent par l'un ou l'autre des deux points 



sommets du domaine modulaire fondamental : il faut alors, pour rétablir 

 l'exactitude, compter pour deux chacune des réduites correspondantes. 



