58 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



En réalité le problème est impossible si Ton n'a pas 



(3) p* p'*p>*= a* b*c*, 



et, si cette relation est satisfaite, il est indéterminé, de sorte qu'on peut 

 trouver une suite continue de triangles satisfaisant aux conditions pro- 

 posées. 



L'analogie avec les tbéorèmes de Poncelet est évidente; mais tandis que, 

 dans ces théorèmes, les polygones mobiles demeurent inscrits ou circonscrits à 

 une même conique, il n'en est plus de même ici. Les coniques décrites par les 

 sommets du triangle mobile ou enveloppes de ses côtés sont toutes différentes les 

 unes des autres. 



Cela m'a conduit à proposer la recherche suivante: Considérons un poly- 

 gone àen côtés dontle mouvement soit défini par les conditions suivantes : 

 ses n — i premiers sommets sont assujettis à demeurer sur des coniques 

 (C,), (C a ), ..., (C„_,); ses n côtés doivent envelopper n autres coniques 

 (T, ), (r a ), ..., (T„). Dans quel cas la courbe décrite par le sommet laissé 

 libre se réduira-t-elle à une conique, ou du moins se décomposera-t-elle en 

 plusieurs courbes dont l'une au moins sera une conique? Tel est le problème 

 dont les théorèmes de Poncelet nous donnent une solution particulière. Le 

 but de cette Note est de montrer qu'il a d'autres solutions, beaucoup plus 

 générales que celle qui est fournie par ces théorèmes, si célèbres à juste 

 titre, et par le cas particulier que nous avons signalé. 



A cet effet, nous commencerons par rappeler que les coniques sont des 

 courbes unicursales et qu'on peut prendre pour les coordonnées d'un de 

 leurs points ou d'une de leurs tangentes des fonctions entières et du second 

 degré d'un certain paramètre /. D'après cela, si l'on veut qu'une droite 

 variable coupe une conique (C,) en un point M, et touche une autre 

 conique (C 2 ) en un point M 2 , il y aura, entre les coordonnées u, v, w de la 

 tangente en M 2 et les coordonnées x, y, = du point M,, la relation 



ux -+■ vy -+- wz = o. 



Si l'on exprime x, y, z en fonction du paramètre /, relatif au point M, 

 de (C,) et m, v, w en fonction du paramètre t., relatif au point M 2 de la 

 conique (C 2 ), on obtiendra une relation 



(4) V(t u t,) = o 



qui sera quadratique à la fois par rapport à /, et à t., et qui dépendra, par 

 conséquent, de huit constantes dans le cas le plus général. 



