SÉANCE DU IO JANVIER 1916. 5p, 



Les relations doublement quadratiques de la forme (/|) sont bien connues 

 depuis Eulerqui, le premier, les a introduites dans la théorie des fonctions 

 elliptiques. On sait qu'elles fournissent les intégrales d'équations différen- 

 tielles de la forme 



dt, du 



(5) 



V/A,(*,) \/Aj(/i) 



où A, (/, ), A 9 (2 a ) désignent des polynômes du quatrième degré qui, par 

 deux substitutions linéaires différentes, peuvent être ramenés à être iden- 

 tiques. Rappelons que le polynôme A, (f,) a pour racines les valeurs de/, 

 auxquelles correspondent par l'équation (1 ) deux valeurs égales de t., ; et de 

 même les racines du polynôme A 2 (/,) sont celles auxquelles correspondent 

 deux valeurs égales de /,. 



D'après cela, si nous revenons à la question de géométrie relative aux 

 coniques (G, ), (G 2 ), nous voyons que, dans l'équation (4) correspondante, 

 les racines du polynôme A,(/,) sont les paramètres des quatre points de (C,) 

 qui sont sur (C 2 ), et les racines du polynôme A 2 (/ 2 ) sont les paramètres des 

 quatre points de contact avec (G a ) des tangentes communes à (C,) et à (C 2 ). 

 Ces deux remarques sont importantes pour la suite. 



Considérons maintenant un polynôme de p côtés dont les p sommets 

 seront assujettis à rester sur des coniques (C, ), (C 3 ), ..., (C 2/) _,), tandis 

 que ses côtés devront être tangents à des coniques (C 2 ), (C 3 ), ..., (C Jp ). 

 En désignant par t t la valeur du paramètre qui fixe la position d'un point 

 sur la conique (C,), on exprimera les conditions auxquelles doit satisfaire 

 le polygone par des équations de la forme 



(6) 



Fi(*i, *i) = o, 



•' ïp-\ ( '-2p-ii ^î/>) — - °i 



■' 2p(tip, t\ ) — O, 



et le problème que nous avons à résoudre s'énoncera comme il suit : 



Etant données les fonctions /._,, t 3 , ..., t.^det, définies par les xp — 1 

 premières équations (G) et la/onction u de /,, dè/inie par V équation 



(7) FinCu» ") = " 



est-il possible de disposer des coefficients contenus dans les relations double- 



