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ment quadratiques de telle manière que l'une au moins des branches de la 

 fonction u définie par l'équation (7) soit 



u — V? 



S'il en est ainsi, on aura une suile continue de polygones satisfaisant à la 

 relation cherchée. 



Le problème d'Analyse auquel on est conduit de cette manière est de 

 ceux dont on peut entreprendre la solution. Dans le cas général, l'élimi- 

 nation des fonctions intermédiaires conduit à une relation 



(8) «?(«„«) = 



qui est du degré i- p par rapport à /, et à «, et l'étude des points singuliers 

 de la fonction u montre qu'on ne peut avoir 



Mais il y a des cas particuliers dans lesquels l'équation précédente se dé- 

 compose et qui fournissent la solution cherchée. 



Nous avons vu que toute équation doublement quadratique de la forme (4) 

 est l'intégrale d'une équation différentielle de la forme (5), et nous avons 

 défini les racines des polynômes A,(t { ), A 2 (/ J ) qui figurent dans l'équa- 

 tion (5). Appliquons cette remarque aux équations (6); nous verrons que 

 l'équation 



F,(/„ £,+,)= 



sera l'intégrale d'une certaine équation différentielle 



, „ s dt, dl M 



(9) ,— — + . . =0. 



L'équation suivante 



1* /-M ('l'+li '1+2) — O 



sera de même l'intégrale d'une équation différentielle 

 (10) 



dt( +t dti+i 



\/0M v'AftlUy+O 



Si donc les constantes ont été choisies de telle manière qu'on ait identi- 

 quement 



