SÉANCE DU IO JANVIER I916. 69 



aurait de même 



(9) ±p'=b <) + ps', ±,/—d l> +qs', 



et s', s sont respectivement les plus grands entiers contenus dans les 

 nombres (6) de la Note I, où l'on aurait écrit p elq au lieu de a et c. 



Enfin, on reconnaît que s — s' -+- 1 est le nombre des domaines modu- 

 laires, de pointe p : q, traversés par la droite % = co; et, de (7), (8), (9), 

 on déduit que s — s' est égal à a m . Donc : 



Soit a m le quotient incomplet qui suit lu fraction p'.q, dans le dévelop- 

 pement (5) ; (1 -+- a m ) est le nombre des domaines modulaires, de pointe p ; q, 

 que traverse la droite H = co . 



3. Cas d'un nombre quadratique . — Supposons que co soit une racine 

 positive de l'équation aco 2 + abco -+- c = o, où a, b, c sont entiers et pre- 

 miers entre eux; désignons par C la demi-circonférence 



a(£ 2 -i-n' 2 ) -t-2Ô£-i-c = o, 



dans le demi-plan supérieur, et suivons-la en nous dirigeant vers co. Sui- 

 vons de même la droite \ = co, de ■+- ce à co : on démontre, et c'est le point 

 fondamental, que C et la droite finissent par traverser les mêmes domaines 

 modulaires, sauf une exception (voir plus bas n° 6). 



D'autre part, en vertu de l'interprétation géométrique de la réduction 

 continuelle, on sait que, si l'on appelle arc de C la portion de C comprise 

 dans un domaine modulaire, il existe, sur C, [x arcs successifs, non équi- 

 valents deux à deux modulairement; les u. arcs suivants équivalent aux 

 précédents par une substitution modulaire S, qui change co en co et C 

 en C, etc. Chaque système de ll arcs ainsi définis se nomme une période. 



Considérons maintenant l'expression (5) de co et la suite (6); d'après ce 

 qui précède, on peut, en allant assez loin dans cette suite, y prendre des 

 termes consécutifs, en nombre limité, r, 



Pi Pi Pr 



— , — , . . . , — , 



'/l 7 2 1r 



dont les valeurs sont les abscisses des pointes des domaines modulaires 

 traversés par la droite \ = co, et par C, dans l'intervalle d'une période d'arcs ; 

 on a, en vertu de (7), p^ +l = ^ v a v -t- e v /j v , et (n- a.,) est le nombre des 

 domaines de pointe/?., : q., que traverse C. 



