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Dès lors, le nombre u. des arcs d'une période est donné par 



v =r 



(10) f* = 2(»-+-«v); 



V = l 



sous une autre forme, c'est là le nombre des réduites d'Hermite équivalentes 

 à la forme indéfinie (a, b, c). 



Rappelons qu'une réduite d'Hermite est une forme dont la circonférence 

 représentative pénétre dans le domaine fondamental ordinaire du groupe 

 modulaire. 



4. Autre expression. — On peut transformer, d'une manière intéressante, 

 le second membre de (10), en introduisant, au lieu du développement (5), 

 celui, (i), en fraction continue ordinaire. 



Observons d'abord que les quotients incomplets, a, n de (5), qui corres- 

 pondent à une période d'arcs, se reproduisent indéfiniment dans le même 

 ordre : car, si C coupe (i -+- a v ) domaines de pointe p., '. </ v , elle coupe le 

 même nombre de domaines de pointe (jd v : ^ V )S, en désignant par ce 

 symbole le transformé de p~, ". y v par la substitution modulaire S considérée 

 au n° 3. 



Il est bien connu que, dans (i), la suite des A, est également périodique, 

 et l'on démontre que la période des h t correspond à celle des a v , quand on 

 passe de (i) à (5) de la manière indiquée au n° I . 



Or, si dans (3), on considère la somme £ (i -+- h), étendue aux quatre 

 quotients incomplets, /«„_,, h n , h n+l , h,,^ qui y figurent, et si, d'autre part, 

 on considère, dans (4), la même somme, étendue aux trois quotients 

 incomplets qui y figurent, à savoir i -i- /«„_,, i +/<„+,, A„ +2 , on trouve, 

 dans les deux cas, la même valeur, //„_,+ h,,^, -+- h n+s + 5, car h H =i. 

 Comme on passe de (i) à (5) par une série d'opérations analogues à celle 

 qui fait passer de (3) à (4), on voit que la somme ï (i + a v ), second 

 membre de (io), est égale à la somme 2 (i + h k ), étendue aux quotients 

 incomplets, h k , de la fraction continue ordinaire (î), dans l'intervalle qui 

 correspond à une période d'arcs sur C. 



Enfin, à une période d'arcs correspond, dans les expressions (5) et(i), 

 la période minima des quotients incomplets, ou cette période répétée deux 

 fois, selon que la forme (a, b, c) n'équivaut pas, ou équivaut à ( — «, b, — c). 



De là le théorème définitif, en observant que, si (a, [i, y) est une réduite 

 d'Hermite, il en est de même de (— a, [i, — y) : 



