SÉANCE DU IO JANVIER 1916. 71 



5. Théorème. — Suit o une forme quadratique binaire, indéfinie et primi- 

 tive, (a, b, c), telle qu'une racine, (a, de «oj 2 -+- 2/;co -+- c = o suit positive : 

 pour obtenir le NOMBRE total DES RÉDUITES d'HeRMTTE équivalentes éi m, on 

 réduira w en fraction continue ordinaire, et l'on prendra les quotients incom- 

 plets //,, h ti ..., ///,. de la période mi ni ma : le nombre cherché sera i)(i -+- /*,). 

 On ne regardera pas comme distinctes deux réduites telles que (a., fi, y) et 



(-«,P,- y)- 



(>. Cas d 'exception. — C'est celui où C passerait par un sommet de 

 domaine modulaire, autre que la pointe. D'ailleurs, il est clair, oj étant 

 irrationnel, que la droite H = (o ne peut contenir de tels points. 



Alors, parmi les réduites d'Hermite équivalentes à ç., il en est dont les 



circonférences représentatives passent par l'un des points z = rfc — 1- i — , 



sommets à distance finie du domaine modulaire fondamental, Œ> , et que 

 nous désignerons par A et B. 



D'autre part, il est aisé de voir que, en traversant un point équivalent 

 à A ou à B, la circonférence C passe d'un domaine modulaire <p, à un 

 autre, ffi 2 , tandis que la droite £ = co ne passe de (0, à Û0 a qu'en traversant 

 deux domaines intermédiaires. On en conclut de suite que l'énoncé du n° 5 

 subsiste, à la condition de compter pour deux toute réduite d' lier mi le. dont la 

 circonférence représentative passe par A ou 1>. 



Dans ce qui suit, nous dirons, pour abréger, que (a, fi, y) et ( — a, fi, — y) 

 sont inversement opposées. 



1. Exemples : i° ç. = x- — 1 4 V" . — On trouve en tout quatorze 

 réduites d'Hermite, non deux à deux inversement opposées, et dont les 

 arcs représentatifs ne passent ni par A, ni par B; à savoir : 



(i,o,-i4); (i,±i,— i3); (i.dra. — 10); (i,±3.-5); (i,±4,2); 

 (2, ±4, 1); (.a, ±2, -5); (3,0,-7). 



D'autre part, en fraction continue, 



\fïl= (3, 1, 2, 1, 6, 1, •!, 1, 6, ...);. 



et l'on a bien 



( 1 -4- 1) -+- ( 1 + 2 ) -+- ( 1 + 1) 4- (1 + 6) = ï4. 



a° o =s x- — i3j-. — On trouve vingt-deux réduites, deux à deux inver- 



